Magma (Algebra)

Bei einem Magma (auch Gruppoid genannt) handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Menge mit einer inneren zweistelligen Verknüpfung besteht. Weitere Anforderungen an die Struktur werden nicht gestellt.

Definitionen

Magma

Bei einem Magma \(\mathcal{M} = \bigl(M, \star\bigr)\) handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Trägermenge \(M\) und einer auf dieser Menge definierten inneren zweistelligen Verknüpfung \(\star: M \times M \rightarrow M\) besteht, für die die folgende Eigenschaft gilt:

• Die Trägermenge \(M\) ist bezüglich der Verknüpfung \(\star\) abgeschlossen:
  \[ \forall a,b \in M: a \star b \in M. \]

Kommutatives bzw. abelsches Magma

Ein Magma \(\mathcal{M} = \bigl(M, \star\bigr)\) wird kommutatives bzw. abelsches Magma genannt, falls über die üblichen Magmaeigenschaften hinaus zusätzlich die folgende Eigenschaft gilt:

• Die Verknüpfung \(\star\) ist kommutativ:
  \[ \forall a,b \in M: a \star b = b \star a. \]

Leeres bzw. triviales Magma

Es ist für ein Magma nicht vorausgesetzt, dass die Trägermenge \(M\) nichtleer ist. Die leere Menge \(\emptyset\) bildet gemeinsam mit der leeren Verknüpfung \(\emptyset \times \emptyset \rightarrow \emptyset\) das leere bzw. triviale Magma \((\emptyset, \times)\).

Untermagma

Seien \(\mathcal{M} = \bigl(M, \star\bigr)\) ein Magma und \(U \subseteq M\) eine Teilmenge der Trägermenge \(M\). Es handelt sich bei \(\mathcal{U} = \bigl( U,\star \bigr)\) um ein Untermagma von \(\mathcal{M}\), falls es sich bei \(\mathcal{U}\) ebenfalls um ein Magma handelt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die folgende Eigenschaft gilt:

• Die Trägermenge \(U\) ist bezüglich der Verknüpfung \(\star\) abgeschlossen:
  \[ \forall a,b \in U: a \star b \in U. \]

Das Magma \(\mathcal{M}\) wird Obermagma von \(\mathcal{U}\) genannt.

Magmahomomorphismus

Eine Abbildung \(\varphi: M_1 \rightarrow M_2\) zwischen den Trägermengen zweier Magmen \(\mathcal{M}_1 = \bigl( M_1, \star \bigr)\) und \(\mathcal{M}_2 = \bigl( M_2, \diamond \bigr)\) wird Magmahomomorphismus genannt, falls die folgende Eigenschaft gilt:

• Die Abbildung \(\varphi\) ist strukturerhaltend:
  \[ \forall a,b \in M_1: \varphi(a \star b) = \varphi(a) \diamond \varphi(b). \]

Notation

Multiplikativ geschriebenes Magma
Oftmals wird anstelle der Verknüpfung \(\star\) der gewöhnliche Malpunkt \(\cdot\) verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um ein multiplikativ geschriebenes Magma. Wie bei der gewöhnlichen Multiplikation üblich, kann der Malpunkt oftmals weggelassen werden.

Additiv geschriebenes Magma
Gelegentlich wird anstelle der Verknüpfung \(\star\) das gewöhnliche Pluszeichen \(+\) verwendet. Es handelt sich in diesem Fall um ein additiv geschriebenes Magma.

Beispiele

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige exemplarische Magmen (bzw. Magmata):

• Die Menge der ganzen Zahlen bildet gemeinsam mit der Subtraktion \(-\) das Magma \(\bigl(\Z, -\bigr)\).
• Die Menge der reellen Zahlen ohne Null bildet gemeinsam mit der Division \(/\) das Magma \(\bigl(\R \setminus \{0\}, /\bigr)\).