Nachlesen

Komplement von Mengen

Es existieren zwei verschiedene Komplemente: das relative und das absolute Komplement. In beiden Fällen handelt es sich beim Komplement einer Menge um diejenigen Elemente, die außerhalb der Menge liegen.

Inhalt

Definitionen
Beispiele
Eigenschaften

Definitionen

Relatives Komplement

Gegeben seien zwei Mengen \(A\) und \(B\). Beim relativen Komplement von \(A\) in \(B\) handelt es sich um die Differenz der Mengen \(B\) und \(A\), also um alle Elemente aus \(B\), die nicht in der Menge \(A\) enthalten sind:

B \setminus A = \Bigl\{ x \mid x \in B \text{ und } x \notin A \Bigr\}.

Darstellung des relativen Komplements einer Menge — Darstellung des relativen Komplements \(B \setminus A\)

Absolutes Komplement

Gegeben seien eine Menge \(A\) und eine Grundmenge \(M\) mit \(A \subseteq M\). Die Menge \(M\) umfasst hierbei alle relevanten Mengen, die im jeweiligen Kontext in Frage kommen, und muss im Folgenden nicht mehr explizit erwähnt werden. Das relative Komplement von \(A\) in \(M\) wird in diesem Fall auch als absolutes Komplement oder einfach nur als Komplement bezeichnet und es gilt:

\begin{align*} \overline{A} = A^C = M \setminus A &= \Bigl\{ x \mid x \in M \text{ und } x \notin A \Bigr\} \\[0.5em] &= \Bigl\{ x \mid x \notin A \Bigr\}. \end{align*}

Darstellung des absoluten Komplements einer Menge — Darstellung des absoluten Komplements \(A^C\)

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen \(A = \bigl\{1,2,3\bigr\}\) und \(B = \bigl\{1,2,3,4,5\bigr\}\). Beim relativen Komplement von \(A\) in \(B\) handelt es sich um die Elemente aus \(B\), die nicht in der Menge \(A\) enthalten sind:

B \setminus A = \Bigl\{ 4,5 \Bigr\}.

Beispiel 2

Gegeben sei die Menge \(A = \bigl\{ x \in \N \mid x \geq 5 \bigr\}\). Bei der Grundmenge handelt es sich um die Menge \(\N\) der natürlichen Zahlen. Für das absolute Komplement von \(A\) gilt:

\overline{A} = A^C = \Bigl\{ 1,2,3,4 \Bigr\}.

Beispiel 3

Beim Komplement der Menge \(\Q\) der rationalen Zahlen in der Grundmenge \(\R\) der reellen Zahlen handelt es sich um die Menge der irrationalen Zahlen:

\overline{\Q} = \Q^C = \R \setminus \Q.

Eigenschaften

De Morgansche Regeln

Für das absolute Komplement von Mengen \(A\), \(B\) und \(C\) gelten die folgenden de Morganschen Regeln:

\begin{align*} {\bigl( A \cup B \bigr)}^C &= A^C \cap B^C \\[0.5em] {\bigl( A \cap B \bigr)}^C &= A^C \cup B^C \end{align*}

Komplementgesetze

Für das absolute Komplement einer Menge \(A\) bezüglich einer Grundmenge \(M\) gelten die folgenden Komplementgesetze:

\begin{align*} A \cup A^C &= M \\[0.5em] A \cap A^C &= \emptyset. \end{align*}

Für das absolute Komplement der leeren Menge bezüglich einer Grundmenge \(M\) gelten somit insbesondere die folgenden Komplementgesetze:

\begin{align*} \emptyset^C &= M \\[0.5em] M^C &= \emptyset. \end{align*}

Für das absolute Komplement von Mengen \(A\) und \(B\) gilt darüber hinaus:

A \subseteq B \Leftrightarrow B^C \subseteq A^C.

Inverses

Das absolute Komplement ist zu sich selbst invers. Es gilt:

{\left( A^C \right)}^C = A.

Beziehungen zwischen relativem und absolutem Komplement

Für Mengen \(A\) und \(B\) gelten die folgenden Beziehungen zwischen dem relativen und dem absoluten Komplement:

\begin{align*} A \setminus B &= A \cap B^C \\[0.5em] {\bigl( A \setminus B \bigr)}^C &= A^C \cup B. \end{align*}