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Subtraktion von Polynomen

Bei der Polynomsubtraktion wird die Differenz von zwei Polynomen berechnet, indem die Koeffizienten der jeweils selben Potenz subtrahiert werden.

Definition

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ mit Grad $n$ bzw. Grad $m$, deren Koeffizienten aus einem Ring $\mathcal{R}$ stammen.

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k} = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_mx^m \end{align*}

Die Differenz der beiden Polynome wird berechnet, indem die Koeffizienten $a_k$ bzw. $b_k$ der Potenzen $x^k$ von $a(x)$ bzw. $b(x)$ subtrahiert werden. Ist die Potenz $x^k$ in einem der Polynome nicht vorhanden, dann besitzt der zugehörige Koeffizient $a_k$ bzw. $b_k$ den Wert $0_\mathcal{R}$.

\begin{align*} a(x) - b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\max(m,n)}{\bigl(a_k-b_k\bigr) x^k} \\[0.5em] &= (a_0-b_0) + (a_1-b_1)x + (a_2-b_2)x^2 + \ldots \end{align*}

Für den Grad der Differenz gilt:

\[ \grad\bigl(a(x)-b(x)\bigr) \leq \max\bigl(m,n\bigr). \]

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \\[0.5em] b(x) &= x^2 - x + 2 \end{align*}

Für die Differenz $a(x)-b(x)$ ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= 4x^3 + \bigl(3-1\bigr)x^2 + \Bigl(2-(-1)\Bigr)x + \bigl(1-2\bigr) \\[0.5em] &= 4x^3 + 2x^2 + 3x - 1 \end{align*}

Der Grad der Differenz $a(x)-b(x)$ ist $3$ – der höhere der beiden Grade $3$ und $2$ der Polynome $a(x)$ und $b(x)$.

Beispiel 2

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= x^2 + 1 \\[0.5em] b(x) &= x^2 - 1 \end{align*}

Für die Differenz $a(x)-b(x)$ ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= \bigl(1-1\bigr) x^2 + \Bigl(1 - (-1)\Bigr) \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Der Grad der Differenz $a(x)-b(x)$ ist $0$ – und somit kleiner als der Grad $2$ der beiden Polynome $a(x)$ und $b(x)$.

Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von Polynomen $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\[ \Bigl(a(x) - b(x) \Bigr) - c(x) \neq a(x) - \Bigl( b(x) - c(x) \Bigr) \]

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von Polynomen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Polynome:

\begin{align*} a(x) &= x^2 - 1 \\[0.5em] b(x) &= x + 1 \\[0.5em] c(x) &= x^2 + x \end{align*}

Für die Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ gilt

\begin{align*} \Bigl( a(x) - b(x) \Bigr) - c(x) &= -2x - 2 \\[0.5em] a(x) - \Bigl( b(x) - c(x) \Bigr) &= 2x^2 - 2, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von Polynomen folgt.

Kommutativität

Die Subtraktion von Polynomen $a(x)$ und $b(x)$ ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

\[ a(x) - b(x) \neq b(x) - a(x) \]

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von Polynomen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Polynome:

\begin{align*} a(x) &= x^2 - 1 \\[0.5em] b(x) &= x + 1 \end{align*}

Für die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ gilt

\begin{align*} a(x) - b(x) &= x^2 - x - 2 \\[0.5em] b(x) - a(x) &= -x^2 + x + 2, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von Polynomen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von Polynomen. Das Nullpolynom $0$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element eines Polynoms $a(x)$ bezüglich der Polynomsubtraktion existiert im Allgemeinen nicht.