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Subtraktion von Polynomen

Bei der Polynomsubtraktion wird die Differenz von zwei Polynomen berechnet, indem die Koeffizienten der jeweils selben Potenz subtrahiert werden.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien zwei Polynome $a(x)$ und $b(x)$ mit Grad $n$ bzw. Grad $m$, deren Koeffizienten aus einem Ring $\mathcal{R}$ stammen.

\begin{align*} a(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n \\[0.5em] b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{m}{b_kx^k} = b_0 + b_1x + b_2x^2 + \ldots + b_mx^m \end{align*}

Die Differenz der beiden Polynome wird berechnet, indem die Koeffizienten $a_k$ bzw. $b_k$ der Potenzen $x^k$ von $a(x)$ bzw. $b(x)$ subtrahiert werden. Ist die Potenz $x^k$ in einem der Polynome nicht vorhanden, dann besitzt der zugehörige Koeffizient $a_k$ bzw. $b_k$ den Wert $0_\mathcal{R}$.

\begin{align*} a(x) - b(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\max(m,n)}{\bigl(a_k-b_k\bigr) x^k} \\[0.5em] &= (a_0-b_0) + (a_1-b_1)x + (a_2-b_2)x^2 + \ldots \end{align*}

Für den Grad der Differenz gilt:

\grad\bigl(a(x)-b(x)\bigr) \leq \max\bigl(m,n\bigr).

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 \\[0.5em] b(x) &= x^2 - x + 2 \end{align*}

Für die Differenz $a(x)-b(x)$ ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= 4x^3 + \bigl(3-1\bigr)x^2 + \Bigl(2-(-1)\Bigr)x + \bigl(1-2\bigr) \\[0.5em] &= 4x^3 + 2x^2 + 3x - 1 \end{align*}

Der Grad der Differenz $a(x)-b(x)$ ist $3$ – der höhere der beiden Grade $3$ und $2$ der Polynome $a(x)$ und $b(x)$.

Beispiel 2

Gegeben seien die beiden nachfolgenden Polynome mit Koeffizienten aus den ganzen Zahlen $\Z$:

\begin{align*} a(x) &= x^2 + 1 \\[0.5em] b(x) &= x^2 - 1 \end{align*}

Für die Differenz $a(x)-b(x)$ ergibt sich somit:

\begin{align*} a(x)+b(x) &= \bigl(1-1\bigr) x^2 + \Bigl(1 - (-1)\Bigr) \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Der Grad der Differenz $a(x)-b(x)$ ist $0$ – und somit kleiner als der Grad $2$ der beiden Polynome $a(x)$ und $b(x)$.

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Eigenschaften

Assoziativität

Die Subtraktion von Polynomen $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ ist nicht assoziativ; im Allgemeinen gilt:

\Bigl(a(x) - b(x) \Bigr) - c(x) \neq a(x) - \Bigl( b(x) - c(x) \Bigr)

Die Nichtassoziativität der Subtraktion von Polynomen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Polynome:

\begin{align*} a(x) &= x^2 - 1 \\[0.5em] b(x) &= x + 1 \\[0.5em] c(x) &= x^2 + x \end{align*}

Für die Polynome $a(x)$, $b(x)$ und $c(x)$ gilt

\begin{align*} \Bigl( a(x) - b(x) \Bigr) - c(x) &= -2x - 2 \\[0.5em] a(x) - \Bigl( b(x) - c(x) \Bigr) &= 2x^2 - 2, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Subtraktion von Polynomen folgt.

Kommutativität

Die Subtraktion von Polynomen $a(x)$ und $b(x)$ ist nicht kommutativ; im Allgemeinen gilt:

a(x) - b(x) \neq b(x) - a(x)

Die Nichtkommutativität der Subtraktion von Polynomen kann leicht mithilfe eines Gegenbeispiels gezeigt werden. Gegeben seien die folgenden Polynome:

\begin{align*} a(x) &= x^2 - 1 \\[0.5em] b(x) &= x + 1 \end{align*}

Für die Polynome $a(x)$ und $b(x)$ gilt

\begin{align*} a(x) - b(x) &= x^2 - x - 2 \\[0.5em] b(x) - a(x) &= -x^2 + x + 2, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Subtraktion von Polynomen folgt.

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Subtraktion von Polynomen. Das Nullpolynom $0$ ist rechts-, aber nicht linksneutral.

Inverses Element

Das inverse Element eines Polynoms $a(x)$ bezüglich der Polynomsubtraktion existiert im Allgemeinen nicht.