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Zeilenstufenform

Bei einer Stufenform handelt es sich um eine spezielle Darstellungsform einer Matrix, die aus dem Gaußschen Eliminationsverfahren hervorgeht. Wendet man das Gaußsche Eliminationsverfahren auf die Zeilen der Matrix an, so erhält man die Zeilenstufenform. Entsprechend erhält man die Spaltenstufenform, wenn das Gaußsche Eliminationsverfahren auf die Spalten der Matrix angewendet wird.

Eine Matrix liegt genau dann in Spaltenstufenform vor, wenn die zugehörige transponierte Matrix in Zeilenstufenform vorliegt. Aus diesem Grund wird in diesem Artikel nur die Zeilenstufenform betrachtet, da sämtliche Ergebnisse direkt auf die Spaltenstufenform übertragen werden können.

Inhalt

Definition

Eine Matrix liegt in Zeilenstufenform vor, wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Nullzeilen, falls vorhanden, stehen am Ende der Matrix.
  • Bei zwei aufeinanderfolgenden Nichtnullzeilen befindet sich das erste von Null verschiedene Element in der unteren Zeile stets weiter rechts als das erste von Null verschiedene Element der oberen Zeile. Als direkte Konsequenz aus dieser Bedingung besitzen alle Elemente unterhalb eines führenden Elements stets den Wert Null.
  • Teilweise wird gefordert, dass das erste von Null verschiedene Element eine Eins ist.

Eine Matrix liegt in reduzierter Zeilenstufenform (auch: erweiterte Zeilenstufenform ) vor, wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

  • Die Matrix liegt in Zeilenstufenform vor.
  • Der erste von Null verschiedene Eintrag ist eine Eins.
  • In jeder Spalte, die eine führende Eins enthält, ist die führende Eins das einzige von Null verschiedene Element.

Beispiele

Die nachfolgende Matrix $A$ liegt in Zeilenstufenform vor. Die Einträge $a_{ij}$ fungieren als Platzhalter für beliebige Werte.

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & a_{24} & a_{25} \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 1 & a_{35} \end{pmatrix} \]

Die nachfolgende Matrix $B$ liegt in reduzierter Zeilenstufenform vor. Die Einträge $b_{ij}$ fungieren als Platzhalter für beliebige Werte.

\[ B = \begin{pmatrix} 1 & b_{12} & 0 & 0 & b_{15} \\[0.25em] 0 & 0 & 1 & 0 & b_{25} \\[0.25em] 0 & 0 & 0 & 1 & b_{35} \end{pmatrix} \]

Überführung in Zeilenstufenform

Mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens kann jede Matrix mit einer endlichen Anzahl an elementaren Zeilenumformungen in Zeilenstufenform überführt werden.

Die resultierende Zeilenstufenform ist jedoch nicht eindeutig. Beispielsweise kann eine gleichwertige Zeilenstufenform erhalten werden, indem das Vielfache einer Zeile zu einer darüberliegenden Zeile addiert wird – im nachfolgenden Beispiel wird das Doppelte der zweiten Zeile zur ersten Zeile addiert.

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Im Gegenzug hierzu ist die reduzierte Zeilenstufenform einer Matrix eindeutig durch die Matrix bestimmt. Für das obige Beispiel kann die reduzierte Zeilenstufenform erhalten werden, indem das $(-3)$-fache der zweiten Zeile zur ersten Zeile addiert wird.

\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\[0.25em] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Elementare Zeilenumformungen verändern nicht den von den Zeilenvektoren aufgespannten Zeilenraum.