Die Ableitungsregel der Sinus-Funktion (abgekürzt: sin) Grenzwert des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.
Ableitungsregel
Die Ableitung der Sinus-Funktion (abgekürzt: sin) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:
Die Herleitung der Ableitungsregel der Sinus-Funktion erfolgt unmittelbar mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Hierbei werden die Additionstheoreme für Sinus sowie die Grenzwertsätze für das Rechnen mit Grenzwerten benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:
handelt es sich um den Grenzwert des Differenzenquotienten der Kosinus-Funktion an der Stelle $0$. Da die Kosinus-Funktion an dieser Stelle ein lokales Maximum besitzt, hat sie dort den Anstieg $0$, d. h., es gilt:
Für die Herleitung der Ableitungsregel der Sinus-Funktion wird unter anderem der Grenzwert $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\sin(h)}{h} \right)}$ benötigt. Dieser kann im vorliegenden Fall nicht mithilfe der Regeln von de l'Hospital berechnet werden, da hierfür die Ableitung des Sinus benötigt wird, die zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt ist und folglich nicht verwendet werden kann. Aus diesem Grund wird ein trigonometrischer Ansatz zur Bestimmung des Grenzwerts verwendet. Aufgrund der Achsensymmetrie der Funktion $\frac{\sin(h)}{h}$ genügt es, nichtnegative Werte $h \geq 0$ zu betrachten. Da nur (sehr) kleine Werte von $h$ benötigt werden, reicht es zudem aus, den Bereich $0 \leq h \leq \frac{\pi}{2}$ zu betrachten.
Für den betrachteten Bereich gelten am Einheitskreis die in der vorausgehenden Grafik dargestellten Zusammenhänge zwischen den Werten $h$, $\sin(h)$ und $\tan(h)$. Es gilt $\sin(h) \leq h$ sowie $h \leq \tan(h)$. Dies kann genutzt werden, um den gesuchten Grenzwert zu bestimmen: