Symmetrische Gruppe
Bei einer symmetrischen Gruppe handelt es sich um eine Gruppe, die aus allen Permutationen einer gegebenen Menge besteht. Bei der Verknüpfung der Gruppe handelt es sich um die Komposition (Nacheinanderausführung) von Permutationen.
Definition
Bei der symmetrischen Gruppe einer endlichen Menge \(X\) handelt es sich um die Menge aller Permutationen der Menge \(X\), also um die Menge aller bijektiven Abbildungen der Menge \(X\) auf sich selbst. Die Verknüpfung der Gruppe ist die Komposition \(\circ\) (Nacheinanderausführung) der Permutationen. Für eine gegebene Menge \(X\) wird die symmetrische Gruppe häufig als \(S_X\), \(\mathcal{S}_X\), \(\mathfrak{S}_X\) oder \(\operatorname{Sym}_X\) geschrieben.
Handelt es sich bei \(X\) um eine \(n\)-elementige Menge, so wird oftmals stellvertretend für \(X\) einfach die Menge \(\bigl\{1,2,\ldots,n\bigr\}\) verwendet. Die symmetrische Gruppe wird dann einfach als \(S_n\), \(\mathcal{S}_n\), \(\mathfrak{S}_n\) oder \(\operatorname{Sym}_n\) geschrieben. Der Wert \(n\) wird hierbei als Grad der symmetrischen Gruppe bezeichnet.
Eigenschaften
Ordnung der Gruppe
Da für eine \(n\)-elementige Menge stets genau \(n!\) Permutationen existieren, gilt für die Ordnung der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\) stets \(|\mathcal{S}_n| = n!\). Mit \(n!\) ist hierbei die Fakultät von \(n\) bezeichnet.
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_n\) ist somit insbesondere eine endliche Gruppe.
Neutrales Element
Beim neutralen Element der symmetrischen Gruppe handelt es sich um die Identität \(\operatorname{id}\), also um die Permutation, die jedes Element auf sich selbst abbildet; für alle Elemente \(\pi \in \mathcal{S}_n\) gilt somit
Inverse Elemente
Die Existenz der inversen Elemente folgt unmittelbar aus der Eigenschaft, dass es sich bei einer Permutation um eine bijektive Abbildung einer Menge auf sich selbst handelt. Zu jeder Permutation \(\pi\) existiert also eine eindeutig bestimmte inverse Permutation \(\pi^{-1}\), die sich direkt aus der Umkehrabbildung ergibt.
Kommutativität
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_n\) ist genau dann kommutativ, wenn \(n \leq 2\) gilt. Die symmetrische Gruppe ist niemals kommutativ, falls \(n \gt 2\) gilt.
Erzeugende Mengen
Für jede symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_n\) (mit \(n \geq 1\)) können Elemente aus der Trägermenge ausgewählt werden, aus denen alle Elemente der symmetrischen Gruppe erzeugt werden können:
- Jede Permutation kann durch die Nacheinanderausführung von Transpositionen dargestellt werden. Die Elemente der symmetrischen Gruppe können folglich vollständig durch eine Auswahl von geeigneten Transpositionen erzeugt werden.
- Die Zyklen \(\bigl(1\ 2\bigr)\) und \(\bigl( 1\ 2\ \ldots\ n \bigr)\) erzeugen vollständig alle Elemente der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\). Dies gilt analog für alle Kombinationen aus einem \(n\)-Zyklus und einer Transposition zweier aufeinanderfolgender Elemente.
- Für \(n \neq 4\) lässt sich zu jedem nichtneutralen Element von \(\mathcal{S}_n\) ein zweites Element derart wählen, sodass die beiden Elemente die vollständige symmetrische Gruppe erzeugen.
Satz von Cayley
Der Satz von Cayley besagt, dass es zu jeder endlichen Gruppe \(\mathcal{G}\) eine zu dieser Gruppe isomorphe Untergruppe einer symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\) gibt, deren Grad \(n\) höchstens die Ordnung der Gruppe \(\mathcal{G}\) ist.
Untergruppen
Permutationsgruppen
Hauptartikel: Permutationsgruppe
Bei einer Permutationsgruppe handelt es sich um eine Untergruppe einer beliebigen symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\).
Alternierende Gruppe
Bei der alternierenden Gruppe \(\mathcal{A}_n\) handelt es sich um eine spezielle Untergruppe der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_n\), nämlich um die Untergruppe, die aus allen geraden Permutationen der \(n\)-elementigen Trägermenge von \(\mathcal{S}_n\) besteht.
Beispiele
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_0\)
Bei der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_0\) handelt es sich um die Menge aller Permutationen der leeren Menge. Es gilt \(|\mathcal{S}_0| = 0! = 1\). Das einzige Element dieser trivialen symmetrischen Gruppe ist die leere Funktion.
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_1\)
Bei der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_1\) handelt es sich um die Menge aller Permutationen einer einelementigen Menge. Es gilt \(|\mathcal{S}_1| = 1! = 1\). Das einzige Element dieser trivialen symmetrischen Gruppe ist die Identität; es gilt:
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_2\)
Bei der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_2\) handelt es sich um die Menge aller Permutationen einer zweielementigen Menge. Es gilt \(|\mathcal{S}_2| = 2! = 2\). Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_2\) enthält die folgenden Permutationen (in Zyklenschreibweise):
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_3\)
Bei der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_3\) handelt es sich um die Menge aller Permutationen einer \(3\)-elementigen Menge. Es gilt \(|\mathcal{S}_3| = 3! = 6\). Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_3\) enthält die folgenden Permutationen (in Zyklenschreibweise):
Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_4\)
Bei der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_4\) handelt es sich um die Menge aller Permutationen einer \(4\)-elementigen Menge. Es gilt \(|\mathcal{S}_4| = 4! = 24\). Die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_4\) enthält die folgenden Permutationen (in Zyklenschreibweise):