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Aufgaben

Eigenvektoren einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Eigenvektor

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eigenvektoren erstellt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Aufgaben und Beispielen und unterstützt dich dabei, diese zu bearbeiten und zu lösen – unter anderem durch ausführliche und verständliche Musterlösungen . Darüber hinaus ist dieselbe Unterstützung auch für eigene Aufgaben verfügbar.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 3

Gegeben sei die folgende Matrix mit Koeffizienten aus $ \Q$:

\[\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\]

Bestimme – falls vorhanden – die ganzzahligen Eigenwerte der Matrix sowie die zum jeweiligen Eigenwert gehörenden Eigenvektoren.

Aufgabengenerator

Aufgabengenerator

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 – 
Eigene Aufgabe

Eigene Aufgabe verwenden

Gib zunächst die Zahlenbereiche an, aus denen die Elemente der Matrix sowie die Eigenwerte stammen sollen, deren Eigenvektoren bestimmt werden sollen:

Gib die Matrix ein, deren Eigenvektoren bestimmt werden soll:

$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$
$ 0$

Aufgabe lösen

Musterlösung

Musterlösung

Zunächst werden – falls vorhanden – die restlichen Eigenwerte der Matrix berechnet.

Berechnung der Eigenwerte

Mithilfe der Eigenwerte der Matrix können die zugehörigen Eigenvektoren berechnet werden.

Berechnung der Eigenvektoren des Eigenwerts $\lambda_{1} = -3$

Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:

\[\begin{align*}
\bigl(A - \lambda_{1} \cdot E\bigr) \cdot v
&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - \left(-3\right) \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]
&=\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]
&= 0.
\end{align*}\]
Lösen des linearen Gleichungssystems

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\[\left[\begin{array}{rr|r}10 & -10 & 0 \\ 5 & -5 & 0 \end{array}\right]\]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\[\begin{array}{rr|r|l}
10 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{10} \\[0.25em]
5 & -5 & 0 & \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
5 & -5 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]
\hline
1 & -1 & 0 & \\[0.25em]
0 & 0 & 0 &
\end{array}\]

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $ \mu_2 \in \Q$ verwendet.

\[\begin{align*}
v_2 &= \mu_2 \\[1em]
v_1 &= 0+v_2 \\[0.5em]
&= 0+\mu_2 \\[0.5em]
&= \mu_2
\end{align*}\]

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

\[v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \mu_2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$:

\[b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}\]

Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,-3)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.

Berechnung der Eigenvektoren des Eigenwerts $\lambda_{2} = 2$