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Eigenvektoren einer Matrix – Interaktiver Aufgabengenerator

Artikel zum Nachlesen: Eigenvektor

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Eigenvektoren einer Matrix erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren, prozedural generierten Übungsaufgaben. Er unterstützt dich dabei, die Aufgaben zu lösen, das Thema ausgiebig zu üben und zu verstehen. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Schritt-für-Schritt Musterlösung. Alle Lösungen und Lösungswege werden deterministisch mithilfe der zugrundeliegenden mathematischen Verfahren berechnet. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

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Musterlösung

Zunächst werden – falls vorhanden – die restlichen Eigenwerte der Matrix berechnet.

Berechnung der Eigenwerte

Zum Bestimmen der Eigenwerte der Matrix muss zunächst das charakteristische Polynom bestimmt werden.

Bestimmung des charakteristischen Polynoms

Beim charakteristischen Polynom handelt es sich um die Determinante der charakteristische Matrix $\lambda E - A$. Es gilt:

\begin{align*}\chi_A(\lambda)&= \det\left(\lambda E - A\right) \\[0.75em]&= \det\left(\begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix}\right) \\[0.75em]&= \det\begin{bmatrix} \lambda - 7 & 10 \\ -5 & \lambda + 8 \end{bmatrix}\end{align*}

Die Determinante kann direkt berechnet werden:

\begin{align*} \det(A) &= \left(\lambda - 7\right) \cdot \left(\lambda + 8\right) - 10 \cdot \left(-5\right)\\[0.5em] &= \lambda^2 + \lambda - 6 \end{align*}

Insgesamt ergibt sich somit das folgende charakteristische Polynom:

\chi_A(\lambda) = \lambda^2 + \lambda - 6

Bei den Eigenwerten der Matrix handelt es sich um die Nullstellen des charakteristischen Polynoms.

Bestimmung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms

Zum Bestimmen der Nullstellen des Polynoms muss die folgende quadratische Gleichung gelöst werden.

\lambda^2 + \lambda - 6 = 0

Die quadratische Gleichung kann mithilfe der pq-Formel wie folgt gelöst werden:

Zusammenfassen und Normieren der Gleichung.

Die quadratische Gleichung liegt bereits in der normierten Form ${\lambda}^2 + p \lambda + q = 0$ vor.
$\begin{align*}\lambda^2 + \lambda - 6 &= 0\end{align*}$
Es gilt $$p=1$$ und $$q=-6$$ .
Anwenden der pq-Formel.

Die gesuchten Lösungen können mithilfe der pq-Formel direkt berechnet werden.
$\begin{align*}{\lambda}_{1/2} &= -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\frac{p^2}{4} - q} \\[0.5em] &= -\,\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{1^2}{4} - \left(-6\right)} \\[0.5em] &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\frac{25}{4}}\end{align*}$
Ausrechnen der Lösung.

Da der Wert unter der Wurzel – die Diskriminante – größer als Null ist, besitzt die quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.
$\begin{align*}{\lambda}_{1/2} &= -\frac{1}{2} \pm \frac{5}{2} \\[1.5em]\implies {\lambda}_1 &= -3 \\[0.5em]{\lambda}_2 &= 2\end{align*}$
Es handelt sich bei beiden Lösungen ebenfalls um ganzzahlige Lösungen.

Die Matrix besitzt somit die folgenden ganzzahligen Eigenwerte:

\begin{align*}\lambda_{1} &= -3 \\[0.5em]\lambda_{2} &= 2\end{align*}

Mithilfe der Eigenwerte der Matrix können die zugehörigen Eigenvektoren berechnet werden.

Berechnung der Eigenvektoren des Eigenwerts

\lambda_{1} = -3

Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:

\begin{align*}\bigl(A - \lambda_{1} \cdot E\bigr) \cdot v&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - \left(-3\right) \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]&=\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 5 & -5 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]&= 0.\end{align*}

Lösen des linearen Gleichungssystems

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rr|r}10 & -10 & 0 \\ 5 & -5 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l}10 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{10} \\[0.25em]5 & -5 & 0 & \\[0.25em]\hline1 & -1 & 0 & \\[0.25em]5 & -5 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -1 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & \end{array}

Ausgehend von der erhaltenen Zeilenstufenform kann nun mittels Rückwärtseinsetzen die Lösung des linearen Gleichungssystems bestimmt werden. Für die freie Variable wird der Parameter $\mu_2 \in \Q$ verwendet.

\begin{align*}v_2 &= \mu_2 \\[1em]v_1 &= 0+v_2 \\[0.5em]&= 0+\mu_2 \\[0.5em]&= \mu_2\end{align*}

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \mu_2 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{1} = -3$ :

b = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,-3)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.

Berechnung der Eigenvektoren des Eigenwerts

\lambda_{2} = 2

Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$ handelt es sich um die Lösungen des folgenden homogenen linearen Gleichungssystems, die wie üblich mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens berechnet werden können:

\begin{align*}\bigl(A - \lambda_{2} \cdot E\bigr) \cdot v&= \left(\begin{bmatrix} 7 & -10 \\ 5 & -8 \end{bmatrix} - 2 \cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\right) \cdot v \\[0.75em]&=\begin{bmatrix} 5 & -10 \\ 5 & -10 \end{bmatrix} \cdot v \\[0.75em]&= 0.\end{align*}

Lösen des linearen Gleichungssystems

Zunächst wird die erweiterte Koeffizientenmatrix aufgestellt.

\left[\begin{array}{rr|r}5 & -10 & 0 \\ 5 & -10 & 0 \end{array}\right]

Diese wird anschließend mithilfe des Gauß-Algorithmus schrittweise in Zeilenstufenform überführt.

\begin{array}{rr|r|l}5 & -10 & 0 & \text{I} \cdot \frac{1}{5} \\[0.25em]5 & -10 & 0 & \\[0.25em]\hline1 & -2 & 0 & \\[0.25em]5 & -10 & 0 & \text{II} - 5 \cdot \text{I} \\[0.25em]\hline1 & -2 & 0 & \\[0.25em]0 & 0 & 0 & \end{array}

\begin{align*}v_2 &= \mu_2 \\[1em]v_1 &= 0+2v_2 \\[0.5em]&= 0+2\mu_2 \\[0.5em]&= 2\mu_2\end{align*}

Die gefundene Lösung kann alternativ auch in Parameterform dargestellt werden.

v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \mu_2 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

Bei dem folgenden Vektor handelt es sich folglich um einen Eigenvektor zum Eigenwert $\lambda_{2} = 2$ :

b = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

Der zugehörige Eigenraum $\operatorname{Eig}(A,2)$ besteht aus allen skalaren Vielfachen des Vektors $b$. Der Eigenwert besitzt somit die geometrische Vielfachheit $1$.

$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$
$$ 0$$	$$ 0$$	$$ 0$$

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