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Vektor

Bei einem Vektor handelt es sich um ein mathematisches Objekt, das sowohl eine Richtung als auch eine Länge besitzt. Vektoren stellen ein Schlüsselkonzept der linearen Algebra dar und tauchen in vielen Gebieten der Mathematik, Physik oder Informatik auf.

Sie eignen sich beispielsweise gut zur Beschreibung von gerichteten Größen wie Kräften, Geschwindigkeiten oder Verschiebungen, und finden unter anderem in der analytischen Geometrie, bei linearen Abbildungen oder bei linearen Gleichungssystemen Anwendung. Mit Vektoren kann zudem auf bestimmte Art und Weise gerechnet werden.

Definition

Vektor

Bei einem Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ handelt es sich um ein geordnetes Tupel von $n$ Elementen aus einer Menge $\mathcal{R}$. Die natürliche Zahl $n \in \N$ wird als Dimension des Vektors bezeichnet.

Vektoren werden typischerweise durch Kleinbuchstaben dargestellt, teilweise auch fettgedruckt (bspw. $\mathbf{v}$) oder mit einem Pfeil versehen (bspw. $\vec{v}$).

In der Regel werden Vektoren als Spaltenvektoren dargestellt.

v = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}

Alternativ kann ein Vektor auch als Zeilenvektor geschrieben werden.

v = \bigl(\begin{matrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{matrix}\bigr)

Ein Vektor mit $n$ Komponenten wird als n-dimensionaler Vektor oder n-Vektor bezeichnet.

Komponenten des Vektors

Beim Element $v_i$ (auch Komponente, Eintrag oder Koordinate genannt) handelt es sich um den $i$-ten Eintrag des Vektors $v \in \mathcal{R}^n$ (mit $1 \leq i \leq n$).

Bei den Komponenten $v_i$ handelt es sich häufig um Elemente eines Rings oder eines Körpers – wie beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen. Die Elemente eines Vektors können jedoch auch andere mathematische Objekte sein – wie beispielsweise Polynome, Matrizen oder wiederum Vektoren.

Der Index $i$ wird als Komponentenindex bezeichnet.

Formale Darstellung

Ein Vektor kann formal als eine einfach indexierte Familie dargestellt werden, d. h. als eine Funktion

\begin{array}{c} v: \bigl\{ 1,\ldots,n \bigr\} \rightarrow \mathcal{R} \\[0.5em] i \mapsto v_i, \end{array}

die jedem Index $i$ die Komponente $v_i \in \mathcal{R}$ zuordnet. Der Funktionswert $v_i$ ist somit das Element an der $i$-ten Stelle des Vektors.

Die Menge $\mathcal{Abb}(\{1,\ldots,n\}, \mathcal{R})$ aller $n$-dimensionalen Vektoren über $\mathcal{R}$ wird als $\mathcal{R}^{\{1,\ldots,n\}}$ geschrieben; oder in kurz als $\mathcal{R}^n$.

Beispiele

Beispiel 1

Beim folgenden Vektor $a \in \Z^3$ handelt es sich um einen dreidimensionalen Vektor, dessen Komponenten aus den ganzen Zahlen $\Z$ stammen.

a = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

Beispiel 2

Beim folgenden Vektor $b \in \Q^4$ handelt es sich um einen vierdimensionalen Vektor, dessen Elemente aus den rationalen Zahlen $\Q$ stammen.

b = \begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{4} \\ 0 \end{pmatrix}

Beispiel 3

Beim folgenden Vektor $c \in \R^2$ handelt es sich um einen zweidimensionalen Vektor, dessen Einträge aus den reellen Zahlen $\R$ stammen.

c = \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ -\pi \end{pmatrix}

Arithmetische Operationen

Addition

Hauptartikel: Addition von Vektoren

Gegeben seien zwei $n$-dimensionale Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^n$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

Bei der Vektoraddition wird die Summe $a + b$ berechnet, indem die Vektoren komponentenweise addiert werden. Es gilt:

a + b = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ \vdots \\ a_n + b_n \end{pmatrix}

Subtraktion

Hauptartikel: Subtraktion von Vektoren

Gegeben seien zwei $n$-dimensionale Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^n$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

Bei der Vektorsubtraktion wird die Differenz $a - b$ berechnet, indem die Vektoren komponentenweise subtrahiert werden. Es gilt:

a - b = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ \vdots \\ a_n - b_n \end{pmatrix}

Skalare Multiplikation

Hauptartikel: Skalare Multiplikation von Vektoren

Gegeben sei ein $n$-dimensionaler Vektor $a \in \mathcal{R}^n$ sowie ein Skalar $\lambda \in \mathcal{R}$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}

Bei der skalaren Multiplikation von Vektoren wird das skalare Vielfache $\lambda \cdot a$ des Vektor berechnet, indem dieser komponentenweise mit dem Skalar multipliziert wird. Es gilt:

\lambda \cdot a = \begin{pmatrix} \lambda \cdot a_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot a_n \end{pmatrix}

Weitere Operationen

Skalarprodukt

Hauptartikel: Skalarprodukt von Vektoren

Gegeben seien zwei $n$-dimensionale Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^n$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt genannt) der Vektoren $a$ und $b$ ist definiert als die Summe der komponentenweisen Produkte. Es gilt:

\begin{align*} a \cdot b = \langle a, b \rangle &= \sum_{i=1}^{n} a_i \cdot b_i \\[0.75em] &= a_1 \cdot b_1 + \ldots + a_n \cdot b_n \end{align*}

Hinweis: Bei der Formel handelt es sich um die Koordinatenform des Skalarprodukts. Das Ergebnis des Skalarprodukts ist ein Skalar.

Kreuzprodukt

Hauptartikel: Kreuzprodukt

Gegeben seien zwei dreidimensionale Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^3$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \quad\text{und}\quad b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt, vektorielles Produkt oder äußeres Produkt genannt) der Vektoren $a$ und $b$ ist definiert als:

a \times b = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

Das Ergebnis ist ein Vektor, der senkrecht auf beiden Vektoren steht. Das Kreuzprodukt ist nur für dreidimensionale Vektoren definiert. Der Betrag des Vektors $a \times b$ entspricht dem Flächeninhalt des von $a$ und $b$ aufgespannten Parallelogramms:

|a \times b | = |a| \cdot |b| \cdot \sin(\varphi),

wobei $\varphi$ den Winkel zwischen $a$ und $b$ bezeichnet.

Spatprodukt

Hauptartikel: Spatprodukt von Vektoren

Gegeben seien drei dreidimensionale Vektoren $a, b, c \in \mathcal{R}^3$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix},\ b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} \text{ und } c = \begin{pmatrix} c_1 \\ c_2 \\ c_3 \end{pmatrix}

Das Spatprodukt (auch gemischtes Produkt genannt) ist das Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt zweier Vektoren mit einem dritten Vektor und kann mithilfe der Determinante bestimmt werden. Es ist wie folgt definiert:

\begin{align*} \bigl(a,b,c\bigr) &= a \cdot \bigl( b \times c \bigr) \\[0.75em] &= \det \begin{pmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{pmatrix} \end{align*}

Das Ergebnis ist ein Skalar, dessen Betrag dem Volumen des von $a$, $b$ und $c$ aufgespannten Spats (auch: Parallelepipeds) entspricht.

Dyadisches Produkt

Hauptartikel: Dyadisches Produkt von Vektoren

Gegeben seien zwei Vektoren $a \in \mathcal{R}^m$ und $b \in \mathcal{R}^n$:

a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_m \end{pmatrix} \text{ und } b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}

Das dyadische Produkt (auch Tensorprodukt genannt) der Vektoren $a$ und $b$ ist definiert als:

a \otimes b = a \cdot b^T = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & \cdots & a_1 b_n \\[0.25em] \vdots & \ddots & \vdots \\[0.25em] a_m b_1 & \cdots & a_m b_n \end{pmatrix}

Das Ergebnis ist eine $m \times n$ Matrix. Im Gegensatz zum Skalarprodukt, bei dem beide Vektoren dieselbe Dimension besitzen müssen und ein Skalar entsteht, können beim dyadischen Produkt Vektoren unterschiedlicher Dimension verknüpft werden. In Matrizenschreibweise entspricht das dyadische Produkt dem Matrizenprodukt des Spaltenvektors $a$ mit dem Zeilenvektor $b^T$.

Transponieren

Hauptartikel: Transponierter Vektor

Durch das Transponieren wird ein Spaltenvektor in einen Zeilenvektor umgewandelt – und umgekehrt. Für einen $n$-dimensionalen Spaltenvektor $v \in \mathcal{R}^n$ gilt:

v = \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad v^T = \bigl(\begin{matrix} v_1 & \cdots & v_n \end{matrix}\bigr).

Das zweifache Transponieren ergibt wieder den ursprünglichen Vektor; es gilt

{\left( v^T \right)}^T = v.

Ein Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ kann als $n \times 1$ Matrix mit einer einzelnen Spalte (eine Spaltenmatrix) oder als $1 \times n$ Matrix mit einer einzelnen Zeile (eine Zeilenmatrix) aufgefasst werden; das Transponieren des Vektors entspricht dann dem Transponieren der Matrix.

Eigenschaften

Länge

Hauptartikel: Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors $v \in \mathcal{R}^n$ (auch Betrag oder euklidische Norm genannt) ist definiert als:

\begin{align*} |v| &= \sqrt{v \cdot v} \\[0.75em] &= \sqrt{\sum_{i=1}^{n} v_i^2} \\[0.75em] &= \sqrt{v_1^2 + \cdots + v_n^2} \end{align*}

Die Länge eines Vektors ist stets nichtnegativ. Sie ist genau dann Null, wenn es sich beim Vektor $v$ um den Nullvektor handelt.

Normierung

Hauptartikel: Einheitsvektor

Zu jedem Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ mit $v \neq 0$ lässt sich durch Normieren ein gleichgerichteter Einheitsvektor $\hat{v}$ der Länge $1$ bestimmen.

\hat{v} = \frac{v}{|v|}

Winkel

Hauptartikel: Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel zwischen zwei Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^n$ mit $a \neq 0$ und $b \neq 0$ ist über das Skalarprodukt definiert.

\cos(\varphi) = \frac{a \cdot b}{|a| \cdot |b|}

Hierbei gilt stets $0 \leq \varphi \leq \pi$ bzw. $0° \leq \varphi \leq 180°$.

Orthogonalität

Hauptartikel: Orthogonalität von Vektoren

Zwei Vektoren $a, b \in \R^n$ werden orthogonal (senkrecht) zueinander genannt, wenn ihr Skalarprodukt gleich Null ist:

a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b = 0.

Orthogonalität entspricht hierbei einem Winkel von $\varphi = \frac{\pi}{2}$ bzw. $\varphi = 90°$ zwischen den Vektoren.

Parallelität

Hauptartikel: Parallelität von Vektoren

Zwei Vektoren $a, b \in \mathcal{R}^n$ mit $a \neq 0$ und $b \neq 0$ werden parallel zueinander genannt, wenn einer ein skalares Vielfaches des anderen ist, d. h. wenn ein $\lambda \in \mathcal{R} \setminus \{0_{\mathcal{R}}\}$ existiert, sodass gilt:

a \parallel b \Leftrightarrow a = \lambda \cdot b.

Für Vektoren des dreidimensionalen Raums $\mathcal{R}^3$ kann dies äquivalent mit dem Kreuzprodukt dargestellt werden; es gilt:

a \parallel b \Leftrightarrow a \times b = 0.

Besitzt $\lambda$ ein positives Vorzeichen, so sind die Vektoren gleichgerichtet, für negative Vorzeichen sind sie entgegengesetzt gerichtet.

Projektion

Hauptartikel: Projektion von Vektoren

Die Vektorprojektion eines Vektors $a \in \mathcal{R}^n$ auf einen Vektor $b \in \mathcal{R}^n$ (mit $b \neq 0$) ist der Anteil von $a$ in Richtung von $b$.

\begin{align*} \operatorname{proj}_b(a) &= \frac{a \cdot b}{|b|} \cdot \hat{b} \\[0.75em] &= \frac{a \cdot b}{{|b|}^2} \cdot b \end{align*}

Das Skalar $\frac{a \cdot b}{|b|}$ wird als Skalarprojektion (skalarer Anteil von $a$ in Richtung $b$) bezeichnet.

Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit

Hauptartikel: Lineare Unabhängigkeit

Eine endliche Menge von Vektoren $\{v_1, \ldots, v_k\} \subseteq \mathcal{R}^n$ wird linear unabhängig genannt, wenn die einzige Lösung der Gleichung

\lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_k \cdot v_k = 0

die triviale Lösung $\lambda_1 = \ldots = \lambda_k = 0_\mathcal{R}$ ist. Andernfalls werden die Vektoren linear abhängig genannt. Lineare Abhängigkeit bedeutet, dass mindestens einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen dargestellt werden kann.

Lineare Hülle

Hauptartikel: Lineare Hülle

Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren $v_1,\ldots,v_k \in \mathcal{R}^n$ ist die Menge aller ihrer Linearkombinationen. Sie bildet den kleinsten Untervektorraum, der diese Vektoren enthält.

\Lin\bigl(v_1,\ldots,v_k\bigr) = \Bigl\{ \lambda_1 \cdot v_1 + \ldots + \lambda_k \cdot v_k \mid \lambda_1,\ldots,\lambda_k \in \mathcal{R} \Bigr\}.

Spezielle Vektoren

Nullvektor

Hauptartikel: Nullvektor

Beim Nullvektor handelt es sich um den Vektor $0 \in \mathcal{R}^n$ mit

0 = \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix},

dessen Komponenten ausnahmslos dem neutralen Element $0_\mathcal{R}$ der Addition in $\mathcal{R}$ entsprechen. Der Nullvektor ist das neutrale Element der Vektoraddition.

Einheitsvektoren

Hauptartikel: Einheitsvektor

Bei den kanonischen Einheitsvektoren (auch Standardbasisvektoren genannt) handelt es sich um die Vektoren $e_1, \ldots, e_n \in \mathcal{R}^n$, wobei $e_i$ an der $i$-ten Stelle den Wert $1_\mathcal{R}$ und an allen anderen Stellen den Wert $0_\mathcal{R}$ besitzt.

e_i = \begin{pmatrix} 0_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 1_\mathcal{R} \\ \vdots \\ 0_\mathcal{R} \end{pmatrix} \leftarrow i\text{-te Stelle}

Die Einheitsvektoren bilden die Standardbasis des $\mathcal{R}^n$; jeder Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ lässt sich eindeutig als Linearkombination der Einheitsvektoren darstellen.

v = v_1 \cdot e_1 + \ldots + v_n \cdot e_n

Gegenvektor

Zu jedem Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ existiert ein eindeutiger Gegenvektor (auch inverser Vektor oder entgegengesetzter Vektor genannt), der durch Negation aller Komponenten entsteht.

-v = \begin{pmatrix} -v_1 \\ \vdots \\ -v_n \end{pmatrix}

Der Gegenvektor $-v$ ist das additive Inverse des Vektors $v$. Er besitzt dieselbe Länge wie $v$, zeigt jedoch in die entgegengesetzte Richtung.

Anwendungen

Lineare Gleichungssysteme

Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem

\begin{align*} \begin{alignedat}{3} a_{11}x_1 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{1n}x_n &\ = &\ b_1 \\[0.5em] \vdots\quad &\ &\ \ddots &\ &\ \vdots\quad &\ &\ \vdots\ \ \\[0.5em] a_{m1}x_1 &\ + &\ \ldots &\ + &\ a_{mn}x_n &\ = &\ b_m \end{alignedat} \end{align*}

mit $n$ Variablen und $m$ Gleichungen kann mithilfe von Vektoren über die Vektorform des linearen Gleichungssystems dargestellt werden. Die Koeffizienten der Variable $x_i$ bilden hierbei den Vektor $a_i \in \mathcal{R}^m$, die Werte $b_1,\ldots,b_m$ bilden den Lösungsvektor $b \in \mathcal{R}^m$. Die Vektoren $a_i$ entsprechen den Spalten der Koeffizientenmatrix.

x_1 \cdot \begin{pmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix} + \ldots + x_n \cdot \begin{pmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix}

Oder in kurz:

x_1 \cdot a_1 + \ldots + x_n \cdot a_n = b.

Besitzt das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, so lässt sich die Lösungsmenge mithilfe von Vektoren in Parameterform darstellen.

Lineare Abbildungen

Hauptartikel: Lineare Abbildung

Bei einer linearen Abbildung handelt es sich um eine Abbildung zwischen zwei Vektorräumen $\mathcal{V}$ und $\mathcal{W}$ über demselben Körper, die verträglich mit der Addition und der skalaren Multiplikation von Vektoren ist. Es spielt folglich keine Rolle, ob die Vektoren zunächst addiert/skaliert und anschließend abgebildet werden, oder zunächst abgebildet und anschließend addiert/skaliert werden.

Mithilfe der Bilder der Basisvektoren einer Basis des Vektorraums $\mathcal{V}$ kann die lineare Abbildung $\mathcal{V} \rightarrow \mathcal{W}$ eindeutig beschrieben werden.

Analytische Geometrie

Ein Ortsvektor $\overrightarrow{OP}$ beschreibt die Position eines Punktes $P$ im Raum relativ zu einem festgelegten Ursprung $O$. Die Komponenten des Ortsvektors entsprechen den Koordinaten des Punktes:

\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} p_1 \\ \vdots \\ p_n \end{pmatrix}.

Der Verbindungsvektor (auch Differenzvektor) von einem Punkt $P$ zu einem Punkt $Q$ ergibt sich als Differenz der zugehörigen Ortsvektoren:

\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} q_1 - p_1 \\ \vdots \\ q_n - p_n \end{pmatrix}.

Die Länge des Verbindungsvektors entspricht dem euklidischen Abstand der beiden Punkte:

d(P,Q) = \left| \overrightarrow{PQ} \right|.

Ein Richtungsvektor beschreibt eine Richtung im Raum, ohne an einen bestimmten Punkt gebunden zu sein. Er wird häufig zur Darstellung von Geraden und Ebenen verwendet:

Die Parameterdarstellung einer Geraden durch einen Punkt $P$ mit einem Richtungsvektor $v \neq 0$ lautet:
$x(t) = \overrightarrow{OP} + t \cdot v \quad (t \in \R).$
Die Parameterdarstellung einer Ebene erfolgt analog durch einen Punkt $P$ und zwei linear unabhängige Richtungsvektoren $u \neq 0$ und $v \neq 0$:
$x(s,t) = \overrightarrow{OP} + s \cdot u + t \cdot v \quad (s, t \in \R).$

Koordinatenraum

Hauptartikel: Koordinatenraum

Beim Koordinatenraum handelt es sich um den Vektorraum der Vektoren fester Größe über einem Körper. Bei den Verknüpfungen des Koordinatenraums handelt es sich um die Addition sowie die skalare Multiplikation von Vektoren. Bei der Standardbasis des Koordinatenraums handelt es sich um die kanonischen Einheitsvektoren. Die Dimension des Koordinatenraums entspricht der Dimension der Vektoren.