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Skalare Multiplikation von Vektoren

Bei der skalaren Multiplikation wird das Produkt eines Skalars und eines Vektors berechnet, indem dieser komponentenweise mit dem Skalar multipliziert wird.

Definition

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie ein Ring mit Eins oder Körper $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen – beispielsweise ganze, rationale, reelle oder komplexe Zahlen.

Bei der skalaren Multiplikation eines Vektors $v \in \mathcal{R}^n$ mit einem Skalar $\lambda \in \mathcal{R}$ handelt es sich um eine äußere zweistellige Verknüpfung $\mathcal{R} \times \mathcal{R}^n \rightarrow \mathcal{R}^n$, bei der der Ergebnisvektor berechnet wird, indem der Vektor $v$ elementweise mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert wird.

  • Für einen Vektor $v \in \mathcal{R}^2$ gilt exemplarisch:
    \[ \lambda \cdot v = \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \\[0.25em] \lambda \cdot v_2 \end{pmatrix}. \]
  • Für einen Vektor $v \in \mathcal{R}^3$ gilt entsprechend:
    \[ \lambda \cdot v = \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \\[0.25em] \lambda \cdot v_2 \\[0.25em] \lambda \cdot v_3 \end{pmatrix}. \]
  • Für einen Vektor $v \in \mathcal{R}^n$ gilt allgemein:
    \[ \lambda \cdot v = \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \\[0.25em] \vdots \\[0.25em] \lambda \cdot v_n \end{pmatrix}. \]

Beispiele

Das folgende Beispiel zeigt eine skalare Multiplikation für einen Vektor des $\R^4$:

\[ 3 \cdot \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \cdot 5 \\ 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 6 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die skalare Multiplikation für $\lambda,\mu \in \mathcal{R}$ und $v \in \mathcal{R}^n$ ist assoziativ; es gilt:

\[ \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot v = \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot v \bigr). \]

Die Assoziativität der skalaren Multiplikation kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot v &\overset{(1)}{=} \bigl( \lambda \cdot \mu \bigr) \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} (\lambda \cdot \mu) \cdot v_1 \\ \vdots \\ (\lambda \cdot \mu) \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} \lambda \cdot (\mu \cdot v_1) \\ \vdots \\ \lambda \cdot (\mu \cdot v_n) \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lambda \cdot \begin{pmatrix} \mu \cdot v_1 \\ \vdots \\ \mu \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot \left( \mu \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot \bigl( \mu \cdot v \bigr). \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen des Vektors $v$ durch den entsprechenden Spaltenvektor
(2)
  • Ausrechnen von $(\lambda \cdot \mu) \cdot v$ gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(3)
  • Die Gleichheit $(\lambda \cdot \mu) \cdot v_k = \lambda \cdot (\mu \cdot v_k)$ (für $1 \leq k \leq n$) gilt aufgrund der Assoziativität der Multiplikation im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Herausziehen des Skalars $\lambda$ aus dem Vektor $\lambda \cdot (\mu \cdot v)$ mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(5)
  • Herausziehen des Skalars $\mu$ aus dem Vektor $\mu \cdot v$ mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(6)
  • Ersetzen des Spaltenvektors durch den Vektor $v$

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Distributivität

Die skalare Multiplikation von Vektoren ist (links-)distributiv über der Vektoraddition und Vektorsubtraktion. Für $\lambda \in \mathcal{R}$ und $u, v \in \mathcal{R}^n$ gilt:

\[ \lambda \cdot \bigl( u \pm v \bigr) = \bigl( \lambda \cdot u \bigr) \pm \bigl( \lambda \cdot v \bigr). \]

Die Linksdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition und Subtraktion von Vektoren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \lambda \cdot \bigl( u \pm v \bigr) &\overset{(1)}{=} \lambda \cdot \left( \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \right) \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \pm v_1 \\ \vdots \\ u_n \pm v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} \lambda \cdot (u_1 \pm v_1) \\ \vdots \\ \lambda \cdot (u_n \pm v_n) \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} \lambda \cdot u_1 \pm \lambda \cdot v_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot u_n \pm \lambda \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \begin{pmatrix} \lambda \cdot u_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot u_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot \begin{pmatrix} u_1 \\ \vdots \\ u_n \end{pmatrix} \pm \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \lambda \cdot u \pm \lambda \cdot v. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen der Vektoren $u$ und $v$ durch die entsprechenden Spaltenvektoren
(2)
  • Ausrechnen von $u \pm v$ gemäß Definition der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren
(3)
  • Ausrechnen von $\lambda \cdot (u \pm v)$ gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(4)
  • Die Gleichheit $\lambda \cdot (u_k \pm v_k) = \lambda \cdot u_k \pm \lambda \cdot v_k$ (für $1 \leq k \leq n$) gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen
(5)
  • Aufteilen des Vektors $\lambda \cdot u \pm \lambda \cdot v$ auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren
(6)
  • Herausziehen des Skalars $\lambda$ aus dem Vektor $\lambda \cdot u$ bzw. $\lambda \cdot v$ mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(7)
  • Ersetzen der Spaltenvektoren durch die Vektoren $u$ und $v$

Die skalare Multiplikation von Vektoren ist (rechts-)distributiv über der Addition und Subtraktion von Skalaren. Für $\lambda, \mu \in \mathcal{R}$ und $v \in \mathcal{R}^n$ gilt:

\[ \bigl( \lambda \pm \mu \bigr) \cdot v = \bigl( \lambda \cdot v \bigr) \pm \bigl( \mu \cdot v \bigr). \]

Die Rechtsdistributivität der skalaren Multiplikation über der Addition und Subtraktion von Skalaren kann wie folgt durch Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl(\lambda \pm \mu\bigr) \cdot v &\overset{(1)}{=} \bigl(\lambda \pm \mu\bigr) \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} (\lambda \pm \mu) \cdot v_1 \\ \vdots \\ (\lambda \pm \mu) \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \pm \mu \cdot v_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot v_n \pm \mu \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \begin{pmatrix} \lambda \cdot v_1 \\ \vdots \\ \lambda \cdot v_n \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} \mu \cdot v_1 \\ \vdots \\ \mu \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lambda \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \pm \mu \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \lambda \cdot v \pm \mu \cdot v. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen des Vektors $v$ durch den entsprechenden Spaltenvektor
(2)
  • Ausrechnen von $(\lambda \pm \mu) \cdot v$ gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(3)
  • Die Gleichheit $(\lambda \pm \mu) \cdot v_k = \lambda \cdot v_k \pm \mu \cdot v_k$ (für $1 \leq k \leq n$) gilt aufgrund der Distributivität im Ring $\mathcal{R}$, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Aufteilen des Vektors $\lambda \cdot v \pm \mu \cdot v$ auf zwei separate Vektoren mithilfe der Definition der Addition bzw. Subtraktion von Vektoren
(5)
  • Herausziehen der Skalare $\lambda$ und $\mu$ aus den Vektoren $\lambda \cdot v$ bzw. $\mu \cdot v$ mithilfe der Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(6)
  • Ersetzen des Spaltenvektors durch den Vektor $v$

Neutrales Element

Das neutrale Element $1_\mathcal{R}$ der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ ist das neutrale Element der skalaren Multiplikation; es gilt:

\[ 1_\mathcal{R} \cdot v = v. \]

Das Einselement $1_\mathcal{R}$ ist (links-)neutral bezüglich der skalaren Multiplikation, denn es gilt:

\begin{align*} 1_\mathcal{R} \cdot v &\overset{(1)}{=} 1_\mathcal{R} \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \begin{pmatrix} 1_\mathcal{R} \cdot v_1 \\ \vdots \\ 1_\mathcal{R} \cdot v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} v. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Ersetzen des Vektors $v$ durch den entsprechenden Spaltenvektor
(2)
  • Ausrechnen von $1_\mathcal{R} \cdot v$ gemäß Definition der skalaren Multiplikation von Vektoren
(3)
  • Die Gleichheit $1_\mathcal{R} \cdot v_k = v_k$ (für $1 \leq k \leq n$) gilt, da es sich bei $1_\mathcal{R}$ um das neutrale Element der Multiplikation im unitären Ring $\mathcal{R}$ handelt, aus dem sämtliche Elemente stammen
(4)
  • Ersetzen des Spaltenvektors durch den Vektor $v$