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Aufgaben

Rechnen mit rationalen Zahlen (Bruchrechnung) – Interaktiver Aufgabengenerator mit Musterlösungen

Artikel zum Nachlesen: Addition von rationalen Zahlen, Subtraktion von rationalen Zahlen, Multiplikation von rationalen Zahlen, Division von rationalen Zahlen

Der interaktive Aufgabengenerator zum Thema Rechnen mit rationalen Zahlen (Bruchrechnung) erzeugt dir eine unbegrenzte Anzahl an individuell anpassbaren Übungsaufgaben und Beispielen. Er unterstützt dich dabei, diese zu lösen und das Thema ausgiebig zu üben. Hierzu erstellt der Generator für jede Aufgabe eine ausführliche, verständliche Musterlösung und bietet dir zudem die Möglichkeit, deine eigenen Lösungen direkt zu überprüfen. Sämtliche Hilfestellungen stehen sowohl für die freien Beispiele als auch für generierte und eigene Aufgaben im vollen Umfang zur Verfügung.

Aufgabe erstellen

Beispielaufgaben

Beispielaufgaben

Aufgabe 1 von 2

Berechne den folgenden rationalen Ausdruck.

\[\frac{\left(\frac{5}{6} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}\]

Gib das Ergebnis, sofern möglich, in vollständig gekürzter Form an.

Aufgabengenerator

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Musterlösung

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Bevor der Quotient $ \frac{\left(\frac{5}{6} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}$ berechnet werden kann, müssen zunächst der Dividend und der Divisor berechnet werden:

Ausrechnen des Dividenten $ \left(\frac{5}{6} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6}$ liefert den Wert $ \frac{7}{36}$

Bevor das Produkt $ \left(\frac{5}{6} + \frac{1}{3}\right) \cdot \frac{1}{6}$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Faktoren ausgerechnet werden:

Ausrechnen des Faktors $ \frac{5}{6} + \frac{1}{3}$ liefert den Wert $ \frac{7}{6}$

Bevor die Summe $ \frac{5}{6} + \frac{1}{3}$ berechnet werden kann, müssen zunächst alle Brüche auf denselben Nenner gebracht werden. Hierzu wird das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der einzelnen Nenner verwendet. Es gilt:

\[\operatorname{kgV}(6, 3) = 6.\]

Um die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $ 6$ zu bringen, müssen sie nun mit geeigneten Faktoren erweitert werden. Anschließend kann die Summe zu einem Bruch zusammengefasst und ausgerechnet werden.

\begin{align*}\frac{5}{6} + \frac{1}{3}&= \frac{5}{6} + \frac{{\color{blue} 2} \cdot 1}{{\color{blue} 2} \cdot 3}\\[0.75em]
&=\frac{5}{6} + \frac{2}{6}\\[0.75em]
&= \frac{5 + 2}{6}\\[0.75em]
&= \frac{7}{6}\\[0.75em]
\end{align*}

Um das Produkt $ \frac{7}{6} \cdot \frac{1}{6}$ zu berechnen, müssen sowohl die Zähler als auch die Nenner der einzelnen Brüche miteinander multipliziert werden.

\begin{align*}\frac{7}{6} \cdot \frac{1}{6} &= \frac{7 \cdot 1}{6 \cdot 6}\\[0.75em]
&= \frac{7}{36}\end{align*}
Ausrechnen des Divisors $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ liefert den Wert $ \frac{1}{4}$

Bevor die Differenz $ \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$ berechnet werden kann, müssen zunächst beide Brüche auf denselben Nenner gebracht werden. Hierzu wird das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der beiden Nenner verwendet. Es gilt:

\[\operatorname{kgV}(4, 2) = 4.\]

Um die Brüche auf den gemeinsamen Nenner $ 4$ zu bringen, müssen sie nun mit geeigneten Faktoren erweitert werden. Anschließend kann die Differenz zu einem Bruch zusammengefasst und ausgerechnet werden.

\[\begin{align*}\frac{3}{4} - \frac{1}{2} &= \frac{3}{4} - \frac{{\color{blue} 2} \cdot 1}{{\color{blue} 2} \cdot 2}\\[0.75em]
&=\frac{3}{4} -\frac{2}{4}\\[0.75em]
&= \frac{3 - 2}{4}\\[0.75em]
&= \frac{1}{4}\\[0.75em]
\end{align*}\]

Um den Quotienten $ \frac{7}{36} : \frac{1}{4}$ zu berechnen, wird die Division auf die Multiplikation mit dem Kehrwert des Divisors zurückgeführt.

\begin{align*}\frac{7}{36} : \frac{1}{4} &= \frac{7}{36} \cdot 4\\[0.75em]
&= \frac{7 \cdot 4}{36}\\[0.75em]
&= \frac{28}{36}\\[0.75em]
&= \frac{7}{9}
\end{align*}
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Gib das berechnete Ergebnis ein.