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Multiplikation von rationalen Zahlen

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ sowie $r_2 = \frac{c}{d}$ (mit $a,b,c,d \in \Z$). Für das Produkt $r_1 \cdot r_2$ gilt

\[ r_1 \cdot r_2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \]

Zum Berechnen des Produkts $r_1 \cdot r_2$ wird folglich der Zähler von $r_1$ mit dem Zähler von $r_2$ und der Nenner von $r_1$ mit dem Nenner von $r_2$ multipliziert.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{1}{2}$ und $r_2 = \frac{1}{3}$. Für das Produkt $r_1 \cdot r_2$ ergibt sich:

\[ r_1 \cdot r_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{2 \cdot 3} = \frac{1}{6} \]

Beispiel 2

Gegeben seien drei rationale Zahlen $r_1 = \frac{1}{3}$, $r_2 = \frac{3}{4}$ und $r_3 = \frac{2}{5}$. Analog zur Multiplikation von zwei rationalen Zahlen werden $r_1$, $r_2$ und $r_3$ erhält man das Produkt $r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$, indem man die Zähler bzw. die Nenner von $r_1,r_2,r_3$ multipliziert.

\[ r_1 \cdot r_2 \cdot r_3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{6}{60} = \frac{1}{10} \]

Eigenschaften

Assoziativität

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ist assoziativ. Für rationale Zahlen $r_1 = \frac{p_1}{q_1}$, $r_2 = \frac{p_2}{q_2}$ und $r_3 = \frac{p_3}{q_3}$ gilt:

\begin{align*} \bigl( r_1 \cdot r_2 \bigr) \cdot r_3 &= \left( \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} \right) \cdot \frac{p_3}{q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2} \cdot \frac{p_3}{q_3} \\[0.5em] &= \frac{(p_1 \cdot p_2) \cdot p_3}{(q_1 \cdot q_2) \cdot q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1 \cdot (p_2 \cdot p_3)}{q_1 \cdot (q_2 \cdot q_3)} \\[0.5em] &= \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2 \cdot p_3}{q_2 \cdot q_3} \\[0.5em] &= \frac{p_1}{q_1} \cdot \left( \frac{p_2}{q_2} \cdot \frac{p_3}{q_3} \right) \\[0.5em] &= r_1 \cdot \bigl( r_2 \cdot r_3 \bigr) \end{align*}

Kommutativität

Die Multiplikation von rationalen Zahlen ist kommutativ. Für rationale Zahlen $r_1 = \frac{p_1}{q_1}$ und $r_2 = \frac{p_2}{q_2}$ gilt:

\[ r_1 \cdot r_2 = \frac{p_1}{q_1} \cdot \frac{p_2}{q_2} = \frac{p_1 \cdot p_2}{q_1 \cdot q_2} = \frac{p_2 \cdot p_1}{q_2 \cdot q_1} = \frac{p_2}{q_2} \cdot \frac{p_1}{q_1} = r_2 \cdot r_1 \]

Neutrales Element

Die $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation von rationalen Zahlen:

\[ r \cdot 1 = \frac{p}{q} \cdot 1 = \frac{p \cdot 1}{q} = \underbrace{\frac{p}{q}}_{=r} = \frac{1 \cdot p}{q} = 1 \cdot \frac{p}{q} = 1 \cdot r. \]

Inverses Element

Das inverse Element einer rationalen Zahl $r \in \Q$ bezüglich der Multiplikation ist ihr Reziprokes $\frac{1}{r}$.

\[ r \cdot \frac{1}{r} = \frac{p}{q} \cdot \frac{q}{p} = \frac{p \cdot q}{q \cdot p} = 1 = \frac{q \cdot p}{p \cdot q} = \frac{q}{p} \cdot \frac{p}{q} = \frac{1}{r} \cdot r \]