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Division von rationalen Zahlen

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Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{a}{b}$ sowie $r_2 = \frac{c}{d}$ (mit $a,b,c,d \in \Z$). Für den Quotienten $\frac{r_1}{r_2}$ gilt

\frac{r_1}{r_2} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Die Division von rationalen Zahlen $r_1$ und $r_2$ entspricht der Multiplikation von $r_1$ mit dem Reziproken von $r_2$.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien zwei rationale Zahlen $r_1 = \frac{1}{2}$ und $r_2 = \frac{1}{3}$. Für den Quotienten $\frac{r_1}{r_2}$ ergibt sich:

r_1 : r_2 = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2}

Beispiel 2

Gegeben seien drei rationale Zahlen $r_1 = \frac{1}{3}$, $r_2 = \frac{3}{4}$ und $r_3 = \frac{2}{5}$. Aufgrund der Nichtassoziativität der Division wird der Ausdruck $r_1 : r_2 : r_3$ von links nach rechts ausgewertet:

r_1 : r_2 : r_3 = \bigl( r_1 : r_2 \bigr) : r_3 = \left( \frac{1}{3} : \frac{3}{4} \right) : \frac{2}{5} = \left( \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} \right) : \frac{2}{5} = \frac{4}{9} : \frac{2}{5} = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{2} = \frac{20}{18} = \frac{10}{9}

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Eigenschaften

Nichtassoziativität

Die Division von rationalen Zahlen ist im Allgemeinen nicht assoziativ, wie das folgende Beispiel zeigt:

\begin{align*} \left( \frac{1}{2} : \frac{1}{3} \right) : \frac{1}{4} &= \frac{3}{2} : \frac{1}{4} = 6 \\[0.5em] \frac{1}{2} : \left( \frac{1}{3} : \frac{1}{4} \right) &= \frac{1}{2} : \frac{4}{3} = \frac{3}{8} \end{align*}

Nichtkommutativität

Die Division von rationalen Zahlen ist im Allgemeinen nicht kommutativ, wie das folgende Beispiel zeigt:

\begin{align*} \frac{1}{2} : \frac{1}{3} &= \frac{3}{2} \\[0.5em] \frac{1}{3} : \frac{1}{2} &= \frac{2}{3} \end{align*}

Neutrales Element

Es existiert kein neutrales Element bzgl. der Division von rationalen Zahlen.

Inverses Element

Ein inverses Element zu einer rationalen Zahl $r \in \Q$ bzgl. der Division existiert im Allgemeinen nicht.