Division von rationalen Zahlen
Bei der Division von rationalen Zahlen, auch rationale Division genannt, wird der Quotient von zwei rationalen Zahlen berechnet. Die rationale Division wird formal auf der Faktormenge der Äquivalenzrelation definiert, die den rationalen Zahlen zugrunde liegt, und ist der Division von Brüchen nachempfunden. Die Division von rationalen Zahlen ist weder assoziativ noch kommutativ und besitzt kein neutrales Element.
Dieser Artikel konzentriert sich auf das formale Dividieren von rationalen Zahlen. Details zum Rechnen mit Brüchen können im Artikel zur Division von Brüchen nachgelesen werden.
Definition
Rationale Zahlen
Hauptartikel: Rationale Zahlen
Die Menge $\Q$ der rationalen Zahlen kann mithilfe einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge von geordneten Paaren ganzer Zahlen formal definiert werden; es gelte:
Bei der Menge der rationalen Zahlen handelt es sich um die Faktormenge (die Menge der Äquivalenzklassen) der Relation $\sim$; es gilt:
Die Äquivalenzklasse $ {\bigl[(a,b)\bigr]}_\sim$ repräsentiert hierbei konzeptuell die rationale Zahl, die dem Quotienten $\frac{a}{b}$ entspricht.
Rationale Division
Bei der rationalen Division handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung auf der Menge $\Q$ der rationalen Zahlen. Sie verknüpft zwei Elemente der Faktormenge der Äquivalenzrelation $\sim$ zu einem neuen Element, das dem Quotienten der beiden rationalen Zahlen entspricht. Es gilt (für $a,b,c,d \in \Z$ mit $b \neq 0$, $c \neq 0$ und $d \neq 0$):
Die rationale Division ist dem Dividieren von Brüchen nachempfunden und wird formal auf das Rechnen mit ganzen Zahlen zurückgeführt. Beim Operator $\cdot$ handelt es sich um die gewöhnliche Multiplikation von ganzen Zahlen.
Hinweis: Die Division von rationalen Zahlen kann, wie in Körpern üblich, alternativ auch auf die (rationale) Multiplikation mit dem multiplikativen Inversen des Divisors zurückgeführt werden.
Hinweis: Wird nur die Menge $\Q \setminus \{0\}$ betrachtet, so handelt es sich bei der rationalen Division um eine innere zweistellige Verknüpfung. Für die Menge $\Q$ selbst ist die Verknüpfung jedoch nicht abgeschlossen, da die Division durch Null nicht erlaubt ist.
Hinweis zur Schreibweise: Anstelle des Operators $\oslash$ wird für die rationale Division typischerweise ebenfalls der Operator $:$ verwendet.
Beispiele
Beispiel 1: Division von zwei rationalen Zahlen
Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei rationalen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen, ihre Darstellungen als Brüche sowie ihre formalen Repräsentationen:
Für den gesuchten Quotienten ergibt sich:
Beispiel 2: Division von zwei rationalen Zahlen
Im zweiten Beispiel wird der Quotient von zwei rationalen Zahlen berechnet. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen, ihre Darstellungen als Brüche sowie ihre formalen Repräsentationen:
Für den gesuchten Quotienten ergibt sich:
Eigenschaften
Nichtassoziativität
Die Division von rationalen Zahlen ist nicht assoziativ. Für $r_1,r_2,r_3 \in \Q$ gilt im Allgemeinen:
Der Beweis der Nichtassoziativität der Division von rationalen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$:
Für die Zahlen $r_1$, $r_2$ und $r_3$ gilt:
Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtassoziativität der Division von rationalen Zahlen.
Nichtkommutativität
Die Division von rationalen Zahlen ist nicht kommutativ. Für $r_1,r_2 \in \Q$ gilt im Allgemeinen:
Der Beweis der Nichtkommutativität der Division von rationalen Zahlen kann mithilfe eines Gegenbeispiels erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$:
Für die Zahlen $r_1$ und $r_2$ gilt:
Da die Ergebnisse verschieden sind, folgt hieraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Division von rationalen Zahlen.
Distributivität
Die Division von rationalen Zahlen ist rechtsdistributiv über der rationalen Addition und der rationalen Subtraktion. Für $r_1, r_2, r_3 \in \Q$ gilt:
Der Beweis der Rechtsdistributivität der Division von rationalen Zahlen über der Addition und Subtraktion kann durch direktes Nachrechnen erbracht werden. Gegeben seien die folgenden rationalen Zahlen sowie ihre Darstellungen durch die jeweiligen Äquivalenzklassen der Relation $\sim$ (mit $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3 \in \Z$):
Die Rechtsdistributivität kann für den Quotienten aus der Summe bzw. der Differenz $r_1 \pm r_2$ und der rationalen Zahl $r_3$ wie folgt gezeigt werden:
Erklärungen zu den Schritten | |
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Neutrales Element
Es existiert kein neutrales Element bezüglich der Division von rationalen Zahlen. Die Zahl $1 = {\bigl[(1,1)\bigr]}_\sim$ ist rechtsneutral, aber nicht linksneutral.
Inverses Element
Das inverse Element einer rationalen Zahl bezüglich der Division von rationalen Zahlen existiert im Allgemeinen nicht.