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Areakosekans hyperbolicus
Areakosekans hyperbolicus (abgekürzt: $\arcsch$, $\acsch$; manchmal auch $\csch^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion von Kosekans hyperbolicus.
Definition
Die Funktion $\arcsch$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \arsech(x) := \ln\left( \frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x} \right) \]
Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Areakosekans hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \arcsch(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arcsch(x) = -\frac{1}{|x| \cdot \sqrt{1+x^2}} \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Areakosekans hyperbolicus lautet:
\[ \int{\arcsch(x)\ dx} = x \cdot \arcsch(x) + \ln\left( x + x \cdot \sqrt{1 + x^{-2}} \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \]
Reihenentwicklung
Die Reihenentwicklung von Areakosekans hyperbolicus ist
\[ \text{TODO} \]