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Areakosekans hyperbolicus (Funktion)

Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcsch, acsch; manchmal auch csch-1) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.

Definition

Bei der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcsch, acsch; manchmal auch csch-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Kosekans hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die csch Funktion bijektiv ist, kann sie auf ihrem kompletten Definitionsbereich umgekehrt werden.)

Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\begin{align*} \arcsch(x) &= \ln\left( \frac{1}{x} + \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right) \\[0.75em] &= \ln\left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|} \right) \end{align*}

Hierbei gilt:

  • Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $x \neq 0$ definiert, da die Kosekans-hyperbolicus-Funktion nur Funktionswerte ungleich Null annimmt.
  • Bei $\arcsch(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$, aber nie um den Wert $0$, da der Kosekans hyperbolicus für $0$ nicht definiert ist.

Zusammengefasst: Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion $\arcsch(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$ an, für den der Kosekans hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Funktionsgraph der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion arcsch(x)
Graph der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion $\arcsch(x)$

Eigenschaften

Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich
  • $-\infty \lt x \lt \infty$
  • $x \neq 0$
Wertebereich
  • $-\infty \lt \arcsch(x) \lt \infty$
  • $\arcsch(x) \neq 0$
Periodizität
  • keine
Monotonie
  • streng monoton fallend für $x \lt 0$
  • streng monoton fallend für $x \gt 0$
Krümmung
  • streng konkav für $x \lt 0$
  • streng konvex für $x \gt 0$
Symmetrien
  • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
Asymptoten
  • $x$-Achse als waagerechte Asymptote für $x \rightarrow \pm\infty$
  • $y$-Achse als senkrechte Asymptote wegen $f(x) \rightarrow \pm\infty$ für $x \rightarrow 0$
Nullstellen
  • keine
Sprungstellen
  • $x_0 = 0$
Polstellen
  • $x_0 = 0$
Extremstellen
  • keine
Wendepunkte
  • keine

Ableitung

Hauptartikel: Areakosekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcsch(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcsch(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{|x| \cdot \sqrt{1 + x^2}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Areakosekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areakosekans-hyperbolicus-Funktion lautet:

\[ \int{\arcsch(x)\ dx} = x \cdot \arcsch(x) + \ln\left( x + x \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \right) + \mathcal{C} \]

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Areakosekans hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arcsch(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{{(-1)}^k \cdot \frac{(2k)!}{(2k+1) \cdot 2^{2k} \cdot {(k!)}^2} \cdot x^{-(2k+1)}} \\[0.75em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{{(-1)}^k \cdot \frac{(2k-1)!!}{(2k+1) \cdot (2k)!!} \cdot x^{-(2k+1)}} \\[0.75em] &= x^{-1} - \frac{1}{6} x^{-3} + \frac{3}{40} x^{-5} - \frac{5}{112} x^{-7} + \frac{35}{1152} x^{-9} - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arcsch(x) &= \arsinh\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arcosh\left( \frac{\sqrt{x^2+1}}{|x|} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \artanh\left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arcoth\left( \sqrt{x^2+1} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arsech\left( \frac{|x|}{\sqrt{x^2+1}} \right) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.