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Kosekans hyperbolicus

Kosekans hyperbolicus (abgekürzt: $\csch$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}

Kosekans hyperbolicus lässt sich auch mithilfe der folgenden Formel darstellen:

\csch(x) := \frac{2}{e^x - e^{-x}}

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Graph der Kosekans hyperbolicus Funktion $\csch(x)$

Definitionsbereich	$-\infty < x \lt; \infty$, $x \neq 0$
Wertebereich	$-\infty < \csch(x) < \infty$, $\csch(x) \neq 0$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x < 0$ streng monoton fallend für $x > 0$
Krümmung	streng konkav für $x < 0$ streng konvex für $x > 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\csch(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x_0=0$
Extrema	keine
Wendepunkte	keine

Die Ableitung von Kosekans hyperbolicus lautet:

\Bigl[ \csch(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \csch(x) = -\frac{\cosh(x)}{\sinh^2(x)} = -\frac{\csch^2(x)}{\sech(x)} = -\frac{\coth(x)}{\sinh(x)} = -\csch(x) \cdot \coth(x)

Die Stammfunktion von Kosekans hyperbolicus lautet:

\int{\csch(x)\ dx} = \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\cosh(x)-1\right) - \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\cosh(x)+1\right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\csch(x)}\ dx} = \int{\csch^{-1}(x)\ dx} &= \cosh(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\csch^n(x)}\ dx} = \int{\csch^{-n}(x)\ dx} &= TODO {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Kosekans hyperbolicus ist

\begin{align*} \csch(x) &= \frac{1}{x} - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2 \cdot \left( 2^{2k-1} - 1\right) \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} - \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 - \frac{31}{15120} x^5 + \ldots \end{align*}