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Kosekans hyperbolicus (Funktion)

Die Kosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: csch), manchmal auch Hyperbelkosekans genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areakosekans-hyperbolicus-Funktion.

Definition

Die Kosekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: csch) gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Es handelt sich um den Kehrwert der Sinus-hyperbolicus-Funktion:

\csch(x) = \frac{1}{\sinh(x)}

Für die Kosekans-hyperbolicus-Funktion ergibt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ somit die folgende Darstellung mithilfe der Exponentialfunktion:

\csch(x) = \frac{2}{e^x - e^{-x}}

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Kosekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq 0$
Wertebereich	$-\infty \lt \csch(x) \lt \infty$ $\csch(x) \neq 0$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \lt 0$ streng monoton fallend für $x \gt 0$
Krümmung	streng konkav für $x \lt 0$ streng konvex für $x \gt 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\csch(x) \rightarrow 0$ für $x \rightarrow \pm\infty$ $y$-Achse als senkrechte Asymptote
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x_0=0$
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Kosekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Kosekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \csch(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \csch(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{\cosh(x)}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\csch^2(x)}{\sech(x)} \\[0.75em] &= -\frac{\coth(x)}{\sinh(x)} \\[0.75em] &= -\csch(x) \cdot \coth(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Kosekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosekans-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int{\csch(x)\ dx} = \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(\cosh(x)-1\bigr) - \frac{1}{2} \cdot \ln\bigl(\cosh(x)+1\bigr) + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\csch^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth(x) \cdot \csch^{n-2}(x) - \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\csch^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\csch^{-1}(x)\ dx} & \int{\frac{1}{\csch(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \cosh(x) + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\csch^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\csch^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \frac{1}{n} \cdot \cosh(x) \cdot \csch^{-n+1}(x) - \frac{n-1}{n} \cdot \int{\csch^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Kosekans hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Kosekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \csch(x) &= \frac{1}{x} - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2 \cdot \left( 2^{2k-1} - 1\right) \cdot B_{2k}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} - \frac{1}{6} x + \frac{7}{360} x^3 - \frac{31}{15120} x^5 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Kosekans-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \csch(x) &= \frac{1}{\sinh(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sgn(x)}{\sqrt{ \cosh^2(x) - 1}} \\[0.75em] &= \frac{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}}{\tanh(x)} \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \sqrt{\coth^2(x) - 1} \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \frac{\sech(x)}{\sqrt{1 - \sech^2(x)}} \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.