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Areakosinus hyperbolicus (Funktion)

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcosh, acosh; manchmal auch cosh^-1) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.

Definition

Bei der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcosh, acosh; manchmal auch cosh^-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Kosinus hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die cosh Funktion nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ 0,\infty \bigr)$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \geq 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\arcosh(x) = \ln{\left( x + \sqrt{x^2-1} \right)}

Hierbei gilt:

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $x \geq 1$ definiert, da die Kosinus-hyperbolicus-Funktion keine Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\bigl[ 1,\infty \bigr)$ annimmt.
Bei $\arcosh(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl[ 0, \infty \bigr)$.

Zusammengefasst: Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion $\arcosh(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl[ 0, \infty \bigr)$ an, für den der Kosinus hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$1 \leq x \lt \infty$
Wertebereich	$0 \leq \arcosh(x) \lt \infty$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton steigend
Krümmung	streng konkav
Symmetrien	keine
Asymptoten	$f(x) \rightarrow \ln(2x)$ für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	$x_0 = 1$
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Areakosinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcosh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcosh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Areakosinus hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int{\arcosh(x)\ dx} = x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2 - 1} + \mathcal{C} \\[0.75em]

Weitere Stammfunktionen:

\int{\arcosh^n(x)\ dx} = x \cdot \arcosh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2 - 1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Areakosinus hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arcosh(x) &= \ln(2x) - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{(2k)!}{2k \cdot 2^{2k} \cdot {(k!)}^2} \cdot x^{-2k}} \\[0.75em] &= \ln(2x) - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{2k \cdot (2k)!!} \cdot x^{-2k}} \\[0.75em] &= \ln(2x) - \frac{1}{4} x^{-2} - \frac{3}{32} x^{-4} - \frac{5}{96} x^{-6} - \frac{35}{1024} x^{-8} - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arcosh(x) &= \arsinh\left( \sqrt{x^2-1} \right) \quad(\text{für } x \geq 1) \\[0.75em] &= 2 \cdot \artanh\left( \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} \right) \\[0.75em] &= \arcoth\left( \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \right) \quad(\text{für } x \geq 1) \\[0.75em] &= \arsech\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \arcsch\left( \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right) \quad(\text{für } x \geq 1) \end{align*}