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Areakosinus hyperbolicus
Areakosinus hyperbolicus (abgekürzt: $\arcosh$, $\acosh$; manchmal auch $\cosh^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion von Kosinus hyperbolicus.
Definition
Die Funktion $\arcosh$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \geq 1$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \arcosh(x) := \ln{\left( x + \sqrt{x^2-1} \right)} \]
Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Areakosinus hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \arcosh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arcosh(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Areakosinus hyperbolicus lautet:
\begin{align*} \int{\arcosh(x)\ dx} &= x \cdot \arcosh(x) - \sqrt{x^2 - 1} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\arcosh^n(x)\ dx} &= x \cdot \arcosh^n(x) - n \cdot \sqrt{x^2 - 1} \cdot \arcosh^{n-1}(x) + n \cdot (n-1) \cdot \int{\arcosh^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}
Reihenentwicklung
Die Reihenentwicklung von Areakosinus hyperbolicus ist
\[ \text{TODO} \]