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Areakosinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcosh oder acosh) kann direkt aus der Definition der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \geq 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\[ \arcosh(x) = \ln{\left( x + \sqrt{x^2-1} \right)} \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcosh oder acosh) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcosh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcosh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden unter anderem die Ableitungsregeln der Logarithmusfunktion und der Wurzelfunktion sowie die Kettenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcosh(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \ln\left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{d}{dx} \left[ x + \sqrt{x^2 - 1} \right] \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left( 1 + \frac{\frac{d}{dx} \left[ x^2 - 1\right]}{2 \cdot \sqrt{x^2 - 1}} \right) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left( 1 + \frac{2x}{2 \cdot \sqrt{x^2 - 1}} \right) \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
  • Zusammenfassen der Summe in der Klammer:
    \begin{align*} 1 + \frac{2x}{2 \cdot \sqrt{x^2-1}} &= 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \\[0.75em] &= \frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2-1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \\[0.75em] &= \frac{\sqrt{x^2-1} + x}{\sqrt{x^2-1}} \end{align*}
(6)
  • Kürzen des Nenners des ersten Faktors mit dem Zähler des zweiten Faktors
  • Zusammenfassen

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arcosh(5x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \arcosh(5x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{{(5x)}^2 - 1}} \cdot {\Bigl[ 5x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{25x^2 - 1}} \cdot 5 \\[0.75em] &= \frac{5}{\sqrt{25x^2 - 1}} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areakosinus-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arcosh\left( x^2 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \arcosh\left( x^2 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{{\left(x^2\right)}^2 - 1}} \cdot {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{x^4 - 1}} \cdot 2x \\[0.75em] &= \frac{2x}{\sqrt{x^4 - 1}} \end{align*}