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Kosinus hyperbolicus
Kosinus hyperbolicus (abgekürzt: $\cosh$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Die Funktion beschreibt beispielsweise den Verlauf eines Seils, das an zwei Punkten aufgehängt ist.
Definition
Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \cosh(x) := \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x + e^{-x} \Bigr) \]
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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|---|---|
| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Kosinus hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \cosh(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \cosh(x) = \sinh(x) \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Kosinus hyperbolicus lautet:
\[ \int{\cosh(x)\ dx} = \sinh(x) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \]
Weitere Stammfunktionen:
\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\cosh(x)}\ dx} = \int{\cosh^{-1}(x)\ dx} &= \arctan(\sinh(x)) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\cosh^n(x)}\ dx} = \int{\cosh^{-n}(x)\ dx} &= - \frac{\sinh(x)}{(n-1) \cdot \cosh^{n-1}(x)} + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\frac{1}{\cosh^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}
Reihenentwicklung
Kosinus hyperbolicus besitzt die folgende Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x_0=0$:
\begin{align*} \cosh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 + \frac{1}{6!} x^6 + \ldots \end{align*}