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Kosinus hyperbolicus (Funktion)

Die Kosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: cosh), manchmal auch Hyperbelkosinus genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Mit Kosinus hyperbolicus kann unter anderem der Verlauf einer an zwei Punkten aufgehängten Kette (Kettenlinie) beschrieben werden. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areakosinus-hyperbolicus-Funktion.

Definition

Die Kosinus-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: cosh) gehört zu den hyperbolischen Funktionen und kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mithilfe der Exponentialfunktion dargestellt werden:

\cosh(x) = \frac{1}{2} \cdot \Bigl( e^x + e^{-x} \Bigr)

Bei Kosinus hyperbolicus handelt es sich um den geraden Anteil der Exponentialfunktion, für die zusammen mit Sinus hyperbolicus der folgende Zusammenhang gilt:

e^x = \sinh(x) + \cosh(x)

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Kosinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$
Wertebereich	$1 \leq \cosh(x) \lt \infty$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \leq 0$ streng monoton steigend für $x \geq 0$
Krümmung	konvex
Symmetrien	achsensymmetrisch zur $y$-Achse gerade Funktion
Asymptoten	$f(x) \rightarrow \frac{1}{2} e^{-x}$ für $x \rightarrow -\infty$ $f(x) \rightarrow \frac{1}{2} e^{x}$ für $x \rightarrow \infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	keine
Extremstellen	Minimum bei $x_0=0$
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Kosinus hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Kosinus-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \cosh(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \cosh(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \sinh(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Kosinus hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kosinus-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int{\cosh(x)\ dx} = \sinh(x) + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\cosh^n(x)\ dx} &= \frac{1}{n} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{n-1}(x) + \frac{n-1}{n} \cdot \int{\cosh^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\cosh^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\cosh(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \arctan\bigl(\sinh(x)\bigr) + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\cosh^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\cosh^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= - \frac{1}{n-1} \cdot \sinh(x) \cdot \cosh^{-n+1}(x) + \frac{n-2}{n-1} \cdot \int{\cosh^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Kosinus hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Kosinus-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \cosh(x) &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k)!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= 1 + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!} x^4 + \frac{1}{6!} x^6 + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Kosinus-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \cosh(x) &= \sqrt{1 + \sinh^2(x)} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2(x)}} \\[0.75em] &= \frac{|\coth(x)|}{\sqrt{\coth^2(x) - 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\sech(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sqrt{1 + \csch^2(x)}}{|\csch(x)|} \end{align*}