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Areakotangens hyperbolicus
Areakotangens hyperbolicus (abgekürzt: $\arcoth$, $\acoth$; manchmal auch $\coth^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion von Kotangens hyperbolicus.
Definition
Die Funktion $\arcoth$ lässt sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \gt 1$ durch die folgende Formel ausdrücken:
\[ \arcoth(x) := \frac{1}{2} \ln\left( \frac{x+1}{x-1} \right) \]
Hierbei ist $\ln$ der natürliche Logarithmus.
Funktionsgraph
Eigenschaften
| Definitionsbereich |
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|---|---|
| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung von Areakotangens hyperbolicus lautet:
\[ \Bigl[ \arcoth(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \arcoth(x) = \frac{1}{1-x^2} \]
Stammfunktion
Die Stammfunktion von Areakotangens hyperbolicus lautet:
\[ \int{\arcoth(x)\ dx} = x \cdot \arcoth(x) + \frac{1}{2} \ln\left( x^2-1 \right) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \]
Reihenentwicklung
Die Reihenentwicklung von Areakotangens hyperbolicus ist
\begin{align*} \arcoth(x) &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{x^{-2k+1}}{2k-1}} \\[0.75em] &= x^{-1} + \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{5}x^{-5} + \frac{1}{7}x^{-7} + \ldots\\[1.5em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k+1) \cdot x^{2k+1}}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots \end{align*}