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Areakotangens hyperbolicus (Funktion)

Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcoth, acoth; manchmal auch coth-1) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Kotangens-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.

Definition

Bei der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcoth, acoth; manchmal auch coth-1) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Kotangens-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Kotangens hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die coth Funktion bijektiv ist, kann sie auf ihrem kompletten Definitionsbereich umgekehrt werden.)

Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \gt 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\[ \arcoth(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{x+1}{x-1} \right) \]

Hierbei gilt:

  • Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $x \lt -1$ bzw. $x \gt 1$ definiert, da die Kotangens-hyperbolicus-Funktion keine Funktionswerte innerhalb des Intervalls $\bigl[ 1,1 \bigr]$ annimmt.
  • Bei $\arcoth(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$, aber nie um den Wert $0$, da der Kotangens hyperbolicus für $0$ nicht definiert ist.

Zusammengefasst: Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion $\arcoth(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl( -\infty, \infty \bigr)$ an, für den der Kotangens hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Funktionsgraph der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion arcoth(x)
Graph der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion $\arcoth(x)$

Eigenschaften

Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich
  • $-\infty \lt x \lt -1$
  • $1 \lt x \lt \infty$
Wertebereich
  • $-\infty \lt \arcoth(x) \lt \infty$
  • $\arcoth(x) \neq 0$
Periodizität
  • keine
Monotonie
  • streng monoton fallend für $x \lt -1$
  • streng monoton fallend für $x \gt 1$
Krümmung
  • streng konkav für $x \lt -1$
  • streng konvex für $x \gt 1$
Symmetrien
  • punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung
  • ungerade Funktion
Asymptoten
  • $x$-Achse als waagerechte Asymptote für $x \rightarrow \pm\infty$
  • senkrechte Asymptote bei $x=-1$ wegen $f(x) \rightarrow -\infty$ für $x \rightarrow -1$
  • senkrechte Asymptote bei $x=1$ wegen $f(x) \rightarrow \infty$ für $x \rightarrow 1$
Nullstellen
  • keine
Sprungstellen
  • keine
Polstellen
  • $x_{1/2} = \pm 1$
Extremstellen
  • keine
Wendepunkte
  • keine

Ableitung

Hauptartikel: Areakotangens hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \gt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcoth(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcoth(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{1-x^2} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Areakotangens hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion lautet:

\[ \int{\arcoth(x)\ dx} = x \cdot \arcoth(x) + \frac{1}{2} \cdot \ln\left( x^2-1 \right) + \mathcal{C} \]

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Areakotangens hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arcoth(x) &= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{x^{-2k+1}}{2k-1}} \\[0.75em] &= x^{-1} + \frac{1}{3}x^{-3} + \frac{1}{5}x^{-5} + \frac{1}{7}x^{-7} + \ldots\\[1.5em] &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{(2k+1) \cdot x^{2k+1}}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} + \frac{1}{3x^3} + \frac{1}{5x^5} + \frac{1}{7x^7} + \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arcoth(x) &= \sgn(x) \cdot \arsinh\left( \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arcosh\left( \frac{|x|}{\sqrt{x^2-1}} \right) \\[0.75em] &= \artanh\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arsech\left( \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|} \right) \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \arcsch\left( \sqrt{x^2-1} \right) \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.