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Areakotangens hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcoth oder acoth) kann direkt aus der Definition der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \gt 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\[ \arcoth(x) = \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{x+1}{x-1} \right) \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arcoth oder acoth) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $|x| \gt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arcoth(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcoth(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{1}{1-x^2} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden unter anderem die Ableitungsregeln der Logarithmusfunktion sowie die Quotientenregel und die Kettenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \arcoth(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} \cdot \ln\left( \frac{x+1}{x-1} \right) \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{x+1}{x-1} \right] \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{2} \cdot \frac{x-1}{x+1} \cdot \frac{1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1}{{(x-1)}^2} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1 \cdot (x-1) \cdot (-2)}{2 \cdot (x+1) \cdot {(x-1)}^2} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{(-1) \cdot (x+1) \cdot (x-1)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{(1+x) \cdot (1-x)} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{1-x^2} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Ausrechnen des Zählers des letzten Faktors
    \begin{align*} 1 \cdot (x-1) - (x+1) \cdot 1 &= (x-1) - (x+1) \\[0.5em] &= -2 \end{align*}
  • Zusammenfassen der Brüche zu einem Bruch
(5)
  • Kürzen des Faktors $-2 \cdot (x-1)$
(6)
  • Hineinziehen des Faktors $-1$ in den Faktor $(x-1)$
(7)

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arcoth(7x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \arcoth(7x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - {(7x)}^2} \cdot {\Bigl[ 7x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - 49x^2} \cdot 7 \\[0.75em] &= \frac{7}{1 - 49x^2} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areakotangens-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arcoth\left( x^2 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \arcoth\left( x^2 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - {\left(x^2\right)}^2} \cdot {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{1}{1 - x^4} \cdot 2x \\[0.75em] &= \frac{2x}{1 - x^4} \end{align*}