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Kotangens hyperbolicus (Funktion)

Die Kotangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: coth), manchmal auch Hyperbelkotangens genannt, gehört zu den hyperbolischen Funktionen. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet. Die zugehörige Umkehrfunktion ist die Areakotangens-hyperbolicus-Funktion.

Definition

Die Kotangens-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: coth) gehört zu den hyperbolischen Funktionen und kann als Quotient von Kosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus dargestellt werden:

\coth(x) = \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}

Für die Kotangens-hyperbolicus-Funktion ergeben sich für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ somit die folgenden Darstellungen mithilfe der Exponentialfunktion:

\begin{align*} \coth(x) &= \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} \\[0.75em] &= \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1} \\[0.75em] &= 1 + \frac{2}{e^{2x} - 1} \end{align*}

Funktionsgraph

Eigenschaften

Die Kotangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich	$-\infty \lt x \lt \infty$ $x \neq 0$
Wertebereich	$\bigl( -\infty, -1 \bigr) \cup \bigl( 1, \infty \bigr)$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x \lt 0$ streng monoton fallend für $x \gt 0$
Krümmung	konkav für $x \lt 0$ konvex für $x \gt 0$
Symmetrien	punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\coth(x) \rightarrow -1$ für $x \rightarrow -\infty$ $\coth(x) \rightarrow +1$ für $x \rightarrow +\infty$ $y$-Achse als senkrechte Asymptote
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x_0=0$
Extremstellen	keine
Wendepunkte	keine

Ableitung

Hauptartikel: Kotangens hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Kotangens-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \coth(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \coth(x) \Bigr] \\[0.75em] &= -\frac{1}{\sinh^2(x)} \\[0.75em] &= -\csch^2(x) \\[0.75em] &= 1 - \coth^2(x) \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Kotangens hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Kotangens-hyperbolicus-Funktion lautet:

\int{\coth(x)\ dx} = \ln\bigl|\sinh(x)\bigr| + \mathcal{C}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\coth^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth^{n-1}(x) + \int{\coth^{n-2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\coth^{-1}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\coth(x)}\ dx} \\[0.75em] &= \ln\bigl(\cosh(x)\bigr) + \mathcal{C} \\[1.5em] \int{\coth^{-n}(x)\ dx} &= \int{\frac{1}{\coth^n(x)}\ dx} \\[0.75em] &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth^{-n+1}(x) + \int{\coth^{-n+2}(x)\ dx} + \mathcal{C} \end{align*}

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Kotangens hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Kotangens-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \coth(x) &= \frac{1}{x} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^{2k} \cdot B_{2n}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Kotangens-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Hyperbelfunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \coth(x) &= \frac{\sqrt{1 + \sinh^2(x)}}{\sinh(x)} \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \frac{\cosh(x)}{\sqrt{\cosh^2(x) - 1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{\tanh(x)} \\[0.75em] &= \frac{\sgn(x)}{\sqrt{1 - \sech^2(x)}} \\[0.75em] &= \sgn(x) \cdot \sqrt{1 + \csch^2(x)} \end{align*}

Bei $\sgn$ handelt es sich hierbei um die Vorzeichenfunktion.