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Kotangens hyperbolicus

Kotangens hyperbolicus (abgekürzt: $\coth$) gehört zu den hyperbolischen Funktionen.

Inhalt

Definition

Die Funktion lässt sich durch die folgende Formel ausdrücken:

\coth(x) := \frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}

Kotangens hyperbolicus lässt sich auch mithilfe der folgenden, durch Termumformung erhalten Formeln darstellen:

\coth(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}} = \frac{e^{2x} + 1}{e^{2x} - 1} = 1 + \frac{2}{e^{2x} - 1}

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Graph der Kotangens hyperbolicus Funktion $\coth(x)$

Definitionsbereich	$-\infty < x < \infty,\ x \neq 0$
Wertebereich	$\bigl( -\infty, -1 \bigr) \cup \bigl( 1, \infty \bigr)$
Periodizität	keine
Monotonie	streng monoton fallend für $x < 0$ streng monoton steigend für $x > 0$
Krümmung	konkav für $x < 0$ konvex für $x > 0$
Symmetrien	Punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ungerade Funktion
Asymptoten	$\coth(x) \rightarrow -1$ für $x \rightarrow -\infty$ $\coth(x) \rightarrow +1$ für $x \rightarrow +\infty$
Nullstellen	keine
Sprungstellen	keine
Polstellen	$x_0=0$
Extrema	keine
Wendepunkte	keine

Die Ableitung von Kotangens hyperbolicus lautet:

\Bigl[ \coth(x) \Bigr]' = \frac{d}{dx} \coth(x) = 1 - \coth^2(x) = -\frac{1}{\sinh^2(x)} = -\csch^2(x)

Die Stammfunktion von Kotangens hyperbolicus lautet:

\int{\coth(x)\ dx} = \ln\bigl|\sinh(x)\bigr| {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}}

Weitere Stammfunktionen:

\begin{align*} \int{\coth^n(x)\ dx} &= -\frac{1}{n-1} \cdot \coth^{n-1}(x) + \int{\coth^{n-2}(x)\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\coth(x)}\ dx} = \int{\coth^{-1}(x)\ dx} &= \ln\bigl(\cosh(x)\bigr) {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{\frac{1}{\coth^n(x)}\ dx} = \int{\coth^{-n}(x)\ dx} &= -\frac{1}{(n-1) \cdot \coth^{n-1}(x)} + \int{\frac{1}{\coth^{n-2}(x)}\ dx} {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}

Die Reihenentwicklung von Kotangens hyperbolicus ist

\begin{align*} \coth(x) &= \frac{1}{x} + \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{2^{2k} \cdot B_{2n}}{(2k)!} \cdot x^{2k-1}} \\[0.75em] &= \frac{1}{x} + \frac{1}{3} x - \frac{1}{45} x^3 + \frac{2}{945} x^5 - \ldots \end{align*}