Areasekans hyperbolicus (Funktion)
Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: $\arsech$, $\asech$; manchmal auch $\sech^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.
Definition
Bei der Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: $\arsech$, $\asech$; manchmal auch $\sech^{-1}$) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Sekans hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die $\sech$ Funktion nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ 0,\infty \bigr)$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)
Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:
Hierbei gilt:
- Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ definiert, da die Sekans-hyperbolicus-Funktion keine Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\bigl( 0,1 \bigr]$ annimmt.
- Bei $\arsech(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl[ 0, \infty \bigr)$.
Zusammengefasst: Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion $\arsech(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl[ 0, \infty \bigr)$ an, für den der Sekans hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.
Funktionsgraph
Eigenschaften
Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:
Definitionsbereich |
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Wertebereich |
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Periodizität |
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Monotonie |
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Krümmung |
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Symmetrien |
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Asymptoten |
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Nullstellen |
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Sprungstellen |
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Polstellen |
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Extremstellen |
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Wendepunkte |
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Ableitung
Hauptartikel: Areasekans hyperbolicus (Ableitungsregel)
Die Ableitung der Areasekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:
Stammfunktion
Hauptartikel: Areasekans hyperbolicus (Integrationsregel)
Die Stammfunktion der Areasekans-hyperbolicus-Funktion lautet:
Reihenentwicklung
Hauptartikel: Areasekans hyperbolicus (Reihenentwicklung)
Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:
Identitäten
Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areasekans-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden: