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Areasekans hyperbolicus (Funktion)

Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: $\arsech$, $\asech$; manchmal auch $\sech^{-1}$) gehört zu den Areafunktionen und ist die Umkehrfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion. Sie ist eine elementare mathematische Funktion und wird beispielsweise in der hyperbolischen Geometrie, in der Physik und in verschiedenen Ingenieurswissenschaften verwendet.

Definition

Bei der Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: $\arsech$, $\asech$; manchmal auch $\sech^{-1}$) handelt es sich um die Umkehrfunktion der Sekans-hyperbolicus-Funktion. Sie ordnet dem Sekans hyperbolicus eines Werts wieder den ursprünglichen Wert zu. (Hinweis: Da die $\sech$ Funktion nicht bijektiv ist, wird sie auf das Intervall $\bigl[ 0,\infty \bigr)$ eingeschränkt, damit sie umgekehrt werden kann.)

Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\begin{align*} \arsech(x) &= \ln\left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right) \\[0.75em] &= \ln\left( \frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x} \right) \end{align*}

Hierbei gilt:

  • Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion ist nur für Werte $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ definiert, da die Sekans-hyperbolicus-Funktion keine Funktionswerte außerhalb des Intervalls $\bigl( 0,1 \bigr]$ annimmt.
  • Bei $\arsech(x)$ handelt es sich um einen Wert $y \in \R$ im Intervall $\bigl[ 0, \infty \bigr)$.

Zusammengefasst: Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion $\arsech(x)$ gibt den Wert $y$ im Intervall $\bigl[ 0, \infty \bigr)$ an, für den der Sekans hyperbolicus den Wert $x$ annimmt.

Funktionsgraph

Funktionsgraph der Areasekans-hyperbolicus-Funktion arsech(x)
Graph der Areasekans-hyperbolicus-Funktion $\arsech(x)$

Eigenschaften

Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgenden Eigenschaften:

Definitionsbereich
  • $0 \lt x \leq 1$
Wertebereich
  • $0 \leq \arsech(x) \lt \infty$
Periodizität
  • keine
Monotonie
  • streng monoton fallend
Krümmung
  • streng konvex für $0 \lt x \lt \frac{\sqrt{2}}{2}$
  • streng konkav für $\frac{\sqrt{2}}{2} \lt x \lt 1$
Symmetrien
  • keine
Asymptoten
  • $y$-Achse als senkrechte Asymptote wegen $f(x) \rightarrow \infty$ für $x \rightarrow 0$
Nullstellen
  • $x_0 = 1$
Sprungstellen
  • keine
Polstellen
  • $x_0 =0 $
Extremstellen
  • keine
Wendepunkte
  • $x_0 = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ableitung

Hauptartikel: Areasekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitung der Areasekans-hyperbolicus-Funktion ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arsech(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arsech(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x \cdot \sqrt{1 - x^2}} \end{align*}

Stammfunktion

Hauptartikel: Areasekans hyperbolicus (Integrationsregel)

Die Stammfunktion der Areasekans-hyperbolicus-Funktion lautet:

\[ \int{\arsech(x)\ dx} = x \cdot \arsech(x) - \arctan\left( \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right) + \mathcal{C} \]

Reihenentwicklung

Hauptartikel: Areasekans hyperbolicus (Reihenentwicklung)

Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion besitzt die folgende Reihenentwicklung:

\begin{align*} \arsech(x) &= \ln\left(\frac{2}{x}\right) - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{(2k)!}{2k \cdot 2^{2k} \cdot {(k!)}^2} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= \ln\left(\frac{2}{x}\right) - \sum\limits_{k=1}^{\infty}{\frac{(2k-1)!!}{2k \cdot (2k)!!} \cdot x^{2k}} \\[0.75em] &= \ln\left(\frac{2}{x}\right) - \frac{1}{4} x^2 - \frac{3}{32} x^4 - \frac{5}{96} x^6 - \frac{35}{1024} x^8 - \ldots \end{align*}

Identitäten

Mithilfe der folgenden Formeln kann die Areasekans-hyperbolicus-Funktion durch die anderen Areafunktionen dargestellt werden:

\begin{align*} \arsech(x) &= \arsinh\left( \frac{\sqrt{1-x^2}}{x} \right) \quad(\text{für } x \gt 0) \\[0.75em] &= \arcosh\left( \frac{1}{x} \right) \\[0.75em] &= 2 \cdot \artanh\left( \sqrt{\frac{1-x}{1+x}} \right) \\[0.75em] &= \arcoth\left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right) \quad(\text{für } x \gt 0) \\[0.75em] &= \arcsch\left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) \quad(\text{für } x \gt 0) \end{align*}