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Areasekans hyperbolicus (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arsech oder asech) kann direkt aus der Definition der Areasekans-hyperbolicus-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Areasekans-hyperbolicus-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \leq 1$ mithilfe der (natürlichen) Logarithmusfunktion dargestellt werden:

\[ \arsech(x) = \ln\left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right) \]

Ableitungsregel

Die Ableitung der Areasekans-hyperbolicus-Funktion (abgekürzt: arsech oder asech) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $0 \lt x \lt 1$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \arsech(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \arsech(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \\[0.75em] &= \frac{-1}{x \cdot \sqrt{1 - x^2}} \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Areasekans-hyperbolicus-Funktion aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden unter anderem die Ableitungsregeln der Logarithmusfunktion und der Wurzelfunktion sowie die Kettenregel und die Reziprokenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \arsech(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \ln\left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right) \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} \right] \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{x^2} - 1 \right] \right) \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \left( -\frac{2}{x^3} \right) \right) \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \left( \frac{-1}{x^2} + \frac{-1}{x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \right) \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \frac{- x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} -1}{x^3 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{\frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \cdot \frac{-\left( \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} + \frac{1}{x} \right)}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} \frac{-1}{x^2 \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1}} \\[0.75em] &\overset{(9)}{=} \frac{-1}{x \cdot \sqrt{1 - x^2}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
(4)
  • Anwenden der Ableitungsregel für Summen
  • Anwenden der Reziprokenregel
(5)
  • Zusammenfassen des hinteren Summanden in der Klammer
  • Kürzen von $2$
(6)
  • Erweitern des vorderen Summanden in der Klammer mit $x \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2}-1}$
  • Zusammenfassen der Summanden in der Klammer zu einem Bruch
(7)
  • Kürzen von $x$ im hinteren Faktor
  • Ausklammern von $-1$ im Zähler des hinteren Faktors
(8)
  • Kürzen des Nenners des ersten Faktors mit dem Zähler des zweiten Faktors
  • Zusammenfassen
(9)
  • Umschreiben von $x^2$ zu $|x| \cdot |x|$
  • Hineinziehen eines Faktors $|x|$ in die Wurzel
    \begin{align*} |x| \cdot \sqrt{\frac{1}{x^2} - 1} &= \sqrt{{|x|}^2 \cdot \left( \frac{1}{x^2} - 1 \right)} \\[0.5em] &= \sqrt{x^2 \cdot \left( \frac{1}{x^2} - 1 \right)} \\[0.5em] &= \sqrt{1 - x^2} \end{align*}
  • Da die $\arsech$ Funktion (und somit auch ihre Ableitung) nur für positive $x$ definiert ist, gilt für den Betrag in diesem Fall $|x| = x$, sodass der verbleibende Faktor vor der Wurzel umgeschrieben werden kann.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ f(x) = \arsech(4x) \]

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \arsech(4x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{4x \cdot \sqrt{1-{(4x)}^2}} \cdot {\Bigl[ 4x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{4x \cdot \sqrt{1-16x^2}} \cdot 4 \\[0.75em] &= \frac{-1}{x \cdot \sqrt{1-16x^2}} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Areasekans-hyperbolicus-Funktion bestimmt werden soll:

\[ g(x) = \arsech\left( x^3 \right) \]

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \arsech\left( x^3 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^3 \cdot \sqrt{1 - {\left(x^3\right)}^2}} \cdot {\Bigl[ x^3 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{x^3 \cdot \sqrt{1 - x^6}} \cdot 3x^2 \\[0.75em] &= \frac{-3}{x \cdot \sqrt{1 - x^6}} \end{align*}