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Einheitengruppe

Bei der Einheitengruppe eines Rings mit Eins handelt es sich um die Menge der multiplikativ invertierbaren Elemente; diese bilden gemeinsam mit der Multiplikation des Rings eine Gruppe.

Inhalt

Definition
Eigenschaften
Beispiele

Definition

Bei der Einheitengruppe eines Rings mit Eins \(\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)\) handelt es sich um die Menge derjenigen Elemente, die ein inverses Element bezüglich der Multiplikation \(\odot\) besitzen. Diese werden Einheiten genannt und bilden gemeinsam mit der Multiplikation \(\odot\) eine Gruppe – die Einheitengruppe. Diese wird häufig als \(\mathcal{R}^\times\) oder auch als \(E(\mathcal{R})\) geschrieben.

\begin{align*} \mathcal{R}^\times = E(\mathcal{R}) &= \Bigl\{ a \in R \mid \exists a_\odot^{-1} \in R \text{ mit } a_\odot^{-1} \odot a = e_\odot = a \odot a_\odot^{-1} \Bigr\} \\[0.5em] &= \Bigl\{ a \in R \mid a \text{ hat ein multiplikatives Inverses in } R \Bigr\}. \end{align*}

Eigenschaften

Neutrales Element

Die Einheitengruppe \(\mathcal{R}^\times\) eines Rings mit Eins \(\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)\) beinhaltet stets das neutrale Element \(e_\odot\) der Multiplikation \(\odot\).

Einheitengruppe und Körper

Handelt es sich bei der Einheitengruppe \(\mathcal{R}^\times\) eines Rings mit Eins \(\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)\) um alle Elemente der Trägermenge \(R\) mit Ausnahme des Nullelements \(e_\oplus\), gilt also \(\mathcal{R}^\times = R \setminus \bigl\{ e_\oplus \bigr\}\), so handelt es sich bei \(\mathcal{R}\) sogar um einen Körper.

Beispiele

Ganze Zahlen

Der Ring \(\bigl(\Z,+,\cdot\bigr)\) der ganzen Zahlen besitzt genau zwei multiplikativ invertierbare Elemente; es gilt:

\Z^\times = E(\Z) = \Bigl\{ -1, 1 \Bigr\}.

Rationale Zahlen

Alle rationalen Zahlen mit Ausnahme der Null besitzen ein multiplikatives Inverses; es gilt folglich

\Q^\times = E(\Q) = \Q \setminus \bigl\{ 0 \bigr\}.

Es handelt sich beim Ring \(\bigl(\Q,+,\cdot\bigr)\) also sogar um einen Körper.

Restklassenringe

Ein Element \({[a]}_m\) des Restklassenrings \(\bigl( \Z_m,+,\cdot \bigr)\) besitzt genau dann ein multiplikatives Inverses, wenn der zu invertierende Wert \(a\) und der Modul \(m\) teilerfremd sind. Die Einheitengruppe \(\Z_m^\times\) besitzt somit genau \(\varphi(m)\) Elemente. Bei \(\varphi\) handelt es sich um die eulersche \(\varphi\)-Funktion.

Für die Einheitengruppe des Rings \(\bigl( \Z_{42},+,\cdot \bigr)\) ergibt sich exemplarisch die folgende Gruppe mit \(\varphi(42) = 12\) Elementen:

\Z_{42}^\times = E(\Z_{42}) = \Bigl\{ {[1]}_{42}, {[5]}_{42}, {[11]}_{42}, {[13]}_{42}, {[17]}_{42}, {[19]}_{42}, {[23]}_{42}, {[25]}_{42}, {[29]}_{42}, {[31]}_{42}, {[37]}_{42}, {[41]}_{42} \Bigr\}.

Handelt es sich beim Modul \(m\) um eine Primzahl \(p\), so besitzen alle Elemente mit Ausnahme von \({[0]}_p\) ein multiplikatives Inverses; bei \(\bigl( \Z_p,+,\cdot \bigr)\) handelt es sich folglich um einen Körper.

Polynomringe

Die Einheitengruppe des Polynomrings \(\mathcal{R}[x]\) der Polynome mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring mit Eins \(\mathcal{R}\) sind diejenigen Polynome

p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n,

für die der Koeffizient \(a_0\) im Ring \(\mathcal{R}\) ein multiplikatives Inverses besitzt (also eine Einheit ist) und für die alle Koeffizienten \(a_1,\ldots,a_n\) nilpotent sind, d. h., für jedes \(a_i\) mit \(1 \leq i \leq n\) existiert eine natürliche Zahl \(N\), sodass \(a_i^N=0_R\) gilt. Mit \(0_R\) ist das Nullelement des Rings \(\mathcal{R}\) bezeichnet, also das neutrale Element der Addition des Rings \(\mathcal{R}\).

Matrizenringe

Die Einheitengruppe des Matrizenrings \(\bigl( \mathcal{K}^{n \times n},+,\cdot\bigr)\) der quadratischen \(n \times n\) Matrizen über einem Körper \(\mathcal{K}\) besteht aus den invertierbaren Matrizen und wird als allgemeine lineare Gruppe \(\operatorname{GL}(n,\mathcal{K})\) bezeichnet.