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Einheitengruppe

Bei der Einheitengruppe eines Rings mit Eins handelt es sich um die Menge der multiplikativ invertierbaren Elemente; diese bilden gemeinsam mit der Multiplikation des Rings eine Gruppe.

Definition

Bei der Einheitengruppe eines Rings mit Eins $\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)$ handelt es sich um die Menge derjenigen Elemente, die ein inverses Element bezüglich der Multiplikation $\odot$ besitzen. Diese werden Einheiten genannt und bilden gemeinsam mit der Multiplikation $\odot$ eine Gruppe – die Einheitengruppe. Diese wird häufig als $\mathcal{R}^\times$ oder auch als $E(\mathcal{R})$ geschrieben.

\begin{align*} \mathcal{R}^\times = E(\mathcal{R}) &= \Bigl\{ a \in R \mid \exists a_\odot^{-1} \in R \text{ mit } a_\odot^{-1} \odot a = e_\odot = a \odot a_\odot^{-1} \Bigr\} \\[0.5em] &= \Bigl\{ a \in R \mid a \text{ hat ein multiplikatives Inverses in } R \Bigr\}. \end{align*}

Eigenschaften

Neutrales Element

Die Einheitengruppe $\mathcal{R}^\times$ eines Rings mit Eins $\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)$ beinhaltet stets das neutrale Element $e_\odot$ der Multiplikation $\odot$.

Einheitengruppe und Körper

Handelt es sich bei der Einheitengruppe $\mathcal{R}^\times$ eines Rings mit Eins $\mathcal{R} = \bigl(R,\oplus,\odot\bigr)$ um alle Elemente der Trägermenge $R$ mit Ausnahme des Nullelements $e_\oplus$, gilt also $\mathcal{R}^\times = R \setminus \bigl\{ e_\oplus \bigr\}$, so handelt es sich bei $\mathcal{R}$ sogar um einen Körper.

Beispiele

Ganze Zahlen

Der Ring $\bigl(\Z,+,\cdot\bigr)$ der ganzen Zahlen besitzt genau zwei multiplikativ invertierbare Elemente; es gilt:

\Z^\times = E(\Z) = \Bigl\{ -1, 1 \Bigr\}.

Rationale Zahlen

Alle rationalen Zahlen mit Ausnahme der Null besitzen ein multiplikatives Inverses; es gilt folglich

\Q^\times = E(\Q) = \Q \setminus \bigl\{ 0 \bigr\}.

Es handelt sich beim Ring $\bigl(\Q,+,\cdot\bigr)$ also sogar um einen Körper.

Restklassenringe

Ein Element $ {[a]}_m$ des Restklassenrings $\bigl( \Z_m,+,\cdot \bigr)$ besitzt genau dann ein multiplikatives Inverses, wenn der zu invertierende Wert $a$ und der Modul $m$ teilerfremd sind. Die Einheitengruppe $\Z_m^\times$ besitzt somit genau $\varphi(m)$ Elemente. Bei $\varphi$ handelt es sich um die eulersche $\varphi$-Funktion.

Für die Einheitengruppe des Rings $\bigl( \Z_{42},+,\cdot \bigr)$ ergibt sich exemplarisch die folgende Gruppe mit $\varphi(42) = 12$ Elementen:

\Z_{42}^\times = E(\Z_{42}) = \Bigl\{ {[1]}_{42}, {[5]}_{42}, {[11]}_{42}, {[13]}_{42}, {[17]}_{42}, {[19]}_{42}, {[23]}_{42}, {[25]}_{42}, {[29]}_{42}, {[31]}_{42}, {[37]}_{42}, {[41]}_{42} \Bigr\}.

Handelt es sich beim Modul $m$ um eine Primzahl $p$, so besitzen alle Elemente mit Ausnahme von $ {[0]}_p$ ein multiplikatives Inverses; bei $\bigl( \Z_p,+,\cdot \bigr)$ handelt es sich folglich um einen Körper.

Polynomringe

Die Einheitengruppe des Polynomrings $\mathcal{R}[x]$ der Polynome mit Koeffizienten aus einem kommutativen Ring mit Eins $\mathcal{R}$ sind diejenigen Polynome

p(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_nx^n,

für die der Koeffizient $a_0$ im Ring $\mathcal{R}$ ein multiplikatives Inverses besitzt (also eine Einheit ist) und für die alle Koeffizienten $a_1,\ldots,a_n$ nilpotent sind, d. h., für jedes $a_i$ mit $1 \leq i \leq n$ existiert eine natürliche Zahl $N$, sodass $a_i^N=0_R$ gilt. Mit $0_R$ ist das Nullelement des Rings $\mathcal{R}$ bezeichnet, also das neutrale Element der Addition des Rings $\mathcal{R}$.

Matrizenringe

Die Einheitengruppe des Matrizenrings $\bigl( \mathcal{K}^{n \times n},+,\cdot\bigr)$ der quadratischen $n \times n$ Matrizen über einem Körper $\mathcal{K}$ besteht aus den invertierbaren Matrizen und wird als allgemeine lineare Gruppe $\operatorname{GL}(n,\mathcal{K})$ bezeichnet.