Nebenklasse

Eine Gruppe kann mithilfe einer Untergruppe in disjunkte Teilmengen zerlegt werden, die Nebenklassen genannt werden; genauer gesagt in Links- und Rechtsnebenklassen, die stets dieselbe Mächtigkeit wie die Untergruppe haben. Die Anzahl der (Links-/Rechts-)Nebenklassen wird als Index der Untergruppe bezeichnet.

Definitionen

Linksnebenklasse

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\). Mithilfe der Untergruppe \(\mathcal{U}\) lässt sich auf der Menge \(G\) eine Äquivalenzrelation \(\sim\) definieren, deren Faktormenge eine Partition der Menge \(G\) darstellt. Für \(a,b \in G\) gilt:

Für ein gegebenes Element \(a \in G\) handelt es sich bei

um die Menge aller Elemente \(b\), die in Relation mit dem Element \(a\) stehen – also um die Äquivalenzklasse der Relation \(\sim\), die das Element \(a\) enthält. Diese wird Nebenklasse von \(a\) genannt und enthält alle Elemente aus \(G\), die entstehen, indem die Elemente aus \(U\) von links mit dem Element \(a\) verknüpft werden. Sie wird als \(a \star U\) oder als \(aU\) (bei additiver Schreibweise auch als \(a+U\)) geschrieben und Linksnebenklasse genannt.

Rechtsnebenklasse

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\). Mithilfe der Untergruppe \(\mathcal{U}\) lässt sich auf der Menge \(G\) eine Äquivalenzrelation \(\sim\) definieren, deren Faktormenge eine Partition der Menge \(G\) darstellt. Für \(a,b \in G\) gilt:

Für ein gegebenes Element \(a \in G\) handelt es sich bei

um die Menge aller Elemente \(b\), die in Relation mit dem Element \(a\) stehen – also um die Äquivalenzklasse der Relation \(\sim\), die das Element \(a\) enthält. Diese wird Nebenklasse von \(a\) genannt und enthält alle Elemente aus \(G\), die entstehen, indem die Elemente aus \(U\) von rechts mit dem Element \(a\) verknüpft werden. Sie wird als \(U \star a\) oder als \(Ua\) (bei additiver Schreibweise auch als \(U+a\)) geschrieben und Rechtsnebenklasse genannt.

Eigenschaften

Nebenklassen und kommutative Gruppen

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer abelschen Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\) und sei \(a \in G\). Dann stimmt die Linksnebenklasse \(aU\) mit der Rechtsnebenklasse \(Ua\) überein, d. h., es gilt \(aU=Ua\). Dies folgt unmittelbar aus der Kommutativität der Verknüpfung \(\star\), denn es gilt:

Für nichtkommutative Gruppen stimmen die Links- und Rechtsnebenklassen im Allgemeinen nicht überein, d. h., es gilt \(aU \neq Ua\). (Hinweis: Dies schließt nicht aus, dass für einige \(a \in G\) dennoch \(aU=Ua\) gilt.)

Disjunktheit von Nebenklassen

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\) und seien \(a,b \in G\) mit \(a \neq b\). Dann sind die Linksnebenklassen \(aU\) und \(bU\) entweder identisch (falls \(a\) und \(b\) in derselben Nebenklasse liegen und somit \(a \sim b\) gilt) oder disjunkt (falls \(a\) und \(b\) nicht in derselben Nebenklasse liegen und somit \(a \not\sim b\) gilt). Hieraus folgt direkt, dass jedes Gruppenelement \(a \in G\) in exakt einer Linksnebenklasse enthalten ist.

Hinweis: Die Aussage gilt analog für Rechtsnebenklassen.

Mächtigkeit der Nebenklassen

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\). Alle Links- und Rechtsnebenklassen von \(\mathcal{U}\) haben stets dieselbe Mächtigkeit; diese entspricht der Mächtigkeit \(|U|\) der Untergruppe \(\mathcal{U}\).

Index einer Untergruppe

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\). Die Anzahl der Links- und der Rechtsnebenklassen der Untergruppe \(\mathcal{U}\) ist stets identisch und wird als Index \(\lbrack G:U \rbrack\) der Untergruppe \(\mathcal{U}\) in \(\mathcal{G}\) bezeichnet.

Für endliche Gruppen \(\mathcal{G}\) kann der Index \(\lbrack G:U \rbrack\) der Untergruppe \(\mathcal{U}\) mithilfe des Satzes von Lagrange bestimmt werden; es gilt:

Beispiele

Nebenklassen einer symmetrischen Gruppe

Es sei \(U = \langle\bigl(2\ 3\bigr)\rangle\) die durch den Zyklus \(\bigl(2\ 3\bigr)\) erzeugte Untergruppe der symmetrischen Gruppe \(\mathcal{S}_3\). Es gilt:

Linksnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Linksnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente \(\id\) und \(\bigl(2\ 3\bigr)\), \(\bigl(1\ 2\bigr)\) und \(\bigl(1\ 2\ 3\bigr)\) sowie \(\bigl(1\ 3\bigr)\) und \(\bigl(1\ 3\ 2\bigr)\) jeweils dieselbe Linksnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Linksnebenklassen. Die Untergruppe \(U\) hat den Index \(\lbrack \mathcal{S}_3 : U \rbrack = 3\).

Rechtsnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Rechtsnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente \(\id\) und \(\bigl(2\ 3\bigr)\), \(\bigl(1\ 2\bigr)\) und \(\bigl(1\ 3\ 2\bigr)\) sowie \(\bigl(1\ 3\bigr)\) und \(\bigl(1\ 2\ 3\bigr)\) jeweils dieselbe Rechtsnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Rechtsnebenklassen. Die Untergruppe \(U\) hat den Index \(\lbrack \mathcal{S}_3 : U \rbrack = 3\).

Die Rechtsnebenklassen stimmen nicht mit den Linksnebenklassen überein, da die Komposition \(\circ\) nicht kommutativ ist.

Nebenklassen einer Einheitengruppe eines Restklassenrings

Es sei \(U = \langle {[8]}_9 \rangle\) die durch die Restklasse \({[8]}_9\) erzeugte Untergruppe der Einheitengruppe \(\Z_9^\times\) des Restklassenrings \(\bigl(\Z_9,+,\cdot\bigr)\). Es gilt:

Linksnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Linksnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente \({[1]}_9\) und \({[8]}_9\), \({[2]}_9\) und \({[7]}_9\) sowie \({[4]}_9\) und \({[5]}_9\) jeweils dieselbe Linksnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Linksnebenklassen. Die Untergruppe \(U\) hat den Index \(\lbrack \Z_9^\times : U \rbrack = 3\).

Rechtsnebenklassen
Es ergeben sich die folgenden Rechtsnebenklassen:

Es ist gut zu erkennen, dass die Elemente \({[1]}_9\) und \({[8]}_9\), \({[2]}_9\) und \({[7]}_9\) sowie \({[4]}_9\) und \({[5]}_9\) jeweils dieselbe Rechtsnebenklasse erzeugen. Insgesamt existieren 3 disjunkte Rechtsnebenklassen. Die Untergruppe \(U\) hat den Index \(\lbrack \Z_9^\times : U \rbrack = 3\).

Die Rechtsnebenklassen stimmen mit den Linksnebenklassen überein, da die Multiplikation von Restklassen modulo m kommutativ ist.

Beweise

Äquivalenzrelation

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\) und \(\sim\) die nachfolgende Relation, die zur Definition der Linksnebenklassen verwendet wurde:

Zum Nachweis, dass es sich bei der Relation \(\sim\) um eine Äquivalenzrelation handelt, muss gezeigt werden, dass die Relation symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.

Nachweis der Symmetrie
Für \(a,b \in G\) folgt aus \(a \sim b\), dass \(b = a \star u\) für ein \(u \in U\) gilt. Da es sich bei \(\mathcal{U}\) um eine Untergruppe handelt, existiert für jedes \(u \in U\) stets auch das inverse Element \(u_{\star}^{-1} \in U\). Rechtsseitiges Verknüpfen der Gleichung \(b = a \star u\) mit \(u_{\star}^{-1}\) liefert

woraus unmittelbar \(b \sim a\) und somit die Symmetrie der Relation \(\sim\) folgt.

Nachweis der Reflexivität
Da es sich bei \(\mathcal{U}\) um eine Untergruppe handelt, gilt insbesondere \(e_{\star} \in U\); mit \(e_{\star}\) ist hierbei das neutrale Element der Verknüpfung \(\star\) bezeichnet. Für \(a \in G\) folgt aus \(a = a \star e_{\star}\) unmittelbar \(a \sim a\) und somit die Reflexivität der Relation \(\sim\).

Nachweis der Transitivität
Für \(a,b,c \in G\) folgt aus \(a \sim b\) und \(b \sim c\), dass \(b = a \star u_1\) sowie \(c = b \star u_2\) für \(u_1,u_2 \in U\) gilt. Hieraus folgt unter Zuhilfenahme der Abgeschlossenheit der Untergruppe \(\mathcal{U}\) die Gleichung

woraus unmittelbar \(a \sim c\) und somit die Transitivität der Relation \(\sim\) folgt.

Hinweis: Der Nachweis für die Äquivalenzrelation der Rechtsnebenklassen funktioniert analog.

Mächtigkeit der Nebenklassen

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\). Bei der zu einem Element \(a \in G\) gehörenden Linksnebenklasse \(aU\) handelt es sich um die Menge

bei der es sich um die Bilder aller Elemente \(u \in U\) handelt, die durch die folgende Abbildung erzeugt werden:

Diese Abbildung ist aufgrund ihrer Definition stets surjektiv. Für beliebige Elemente \(u_1,u_2 \in U\) folgt aufgrund der Linkskürzbarkeit in einer Gruppe aus der Gleichheit \(a \star u_1 = a \star u_2\) stets \(u_1=u_2\); die Abbildung ist also ebenfalls injektiv – und somit auch bijektiv. Hieraus folgt, dass die Mächtigkeit der Nebenklasse \(aU\) stets der Mächtigkeit (also der Ordnung) der Untergruppe \(\mathcal{U}\) entspricht – und somit auch, dass alle Linksnebenklassen dieselbe Mächtigkeit \(|U|\) besitzen.

Hinweis: Der Nachweis für die Mächtigkeit der Rechtsnebenklassen funktioniert analog.

Disjunktheit von Nebenklassen

Sei \(\mathcal{U} = \bigl(U,\star\bigr)\) eine Untergruppe einer Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\) und seien \(a,b \in G\). Handelt es sich bei \(b\) um ein Element der Linksnebenklasse \(aU\), gilt also \(a \sim b\), dann existiert ein Element \(u \in U\) mit \(b = a \star u\). Für die von \(b\) erzeugte Linksnebenklasse \(bU\) gilt dann:

Die Umformung \((\ast)\) gilt, da es sich bei der Abbildung \(u \mapsto a \star u\), deren Bilder die Elemente der Linksnebenklasse \(aU\) darstellen, um eine Bijektion handelt (siehe vorheriger Abschnitt) und folglich \(uU=U\) gilt.

Die Elemente \(a\) und \(b\) erzeugen folglich stets dieselbe Linksnebenklasse \(aU=bU\), falls \(a \sim b\) gilt. Da es sich bei \(\sim\) zudem um eine Äquivalenzrelation handelt, deren Äquivalenzklassen die Nebenklassen sind, gehört jedes Element zu einer eindeutig bestimmten Nebenklasse. Aus der Kombination dieser beiden Eigenschaften folgt unmittelbar die Disjunktheit der Nebenklassen.