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Kotangens (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Kotangens-Funktion (abgekürzt: cot) kann direkt aus der Definition der Kotangens-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Grundlagen

Die Kotangens-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq 0$ als Quotient der Kosinus-Funktion und der Sinus-Funktion dargestellt werden:

\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}

Ableitungsregel

Die Ableitung der Kotangens-Funktion (abgekürzt: cot) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ \cot(x) \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ \cot(x) \Bigr] \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &= -\csc^2(x) \\[0.75em] &= -1 - \cot^2(x) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel

Die Herleitung der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Kotangens-Funktion sich als Quotient der Kosinus-Funktion und der Sinus-Funktion ergibt, für die bereits alle notwendigen Ableitungsregeln bekannt sind. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden folglich die Ableitungsregeln von Sinus und Kosinus sowie die Quotientenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \cot(x) \Bigr] &\overset{(1)}{=} \frac{d}{dx} \left[ \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right] \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{d}{dx} \bigl[ \cos(x) \bigr] \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \frac{d}{dx} \bigl[ \sin(x) \bigr]}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{\bigl(-\sin(x)\bigr) \cdot \sin(x) - \cos(x) \cdot \cos(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \frac{-\bigl(\sin^2(x) + \cos^2(x) \bigr)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \frac{-1}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} -\csc^2(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Einsetzen der Definition der Kotangens-Funktion
(2)	Anwenden der Quotientenregel
(3)	Anwenden der Ableitungsregel der Kosinus-Funktion Anwenden der Ableitungsregel der Sinus-Funktion
(4)	Zusammenfassen
(5)	Ausklammern von $-1$ im Zähler
(6)	Einsetzen der Identität $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ gemäß des trigonometrischen Pythagoras
(7)	Ersetzen von $\frac{1}{\sin(x)}$ durch $\csc(x)$ gemäß Definition der Kosekans-Funktion

Weitere Formen der Ableitung

Ausgehend von Umformungsschritt (4) kann außerdem die folgende Form der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion erhalten werden:

\begin{align*} \frac{d}{dx} \Bigl[ \cot(x) \Bigr] &\overset{(4)}{=} \frac{-\sin^2(x) - \cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} -\frac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} - \frac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} -1 - {\left( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \right)}^2 \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} -1 - \cot^2(x) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(5)	Aufteilen des Bruchs auf zwei Summanden.
(6)	Kürzen des ersten Summanden Anwenden von Potenzgesetz II-b auf den zweiten Summanden
(7)	Ersetzen von $\frac{\cos(x)}{\sin(x)}$ durch $\cot(x)$ gemäß Definition der Kotangens-Funktion

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion bestimmt werden soll:

f(x) = \cot(7x)

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ \cot(7x) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sin^2(7x)} \cdot {\Bigl[ 7x \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sin^2(7x)} \cdot 7 \\[0.75em] &= \frac{-7}{\sin^2(7x)} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Kotangens-Funktion bestimmt werden soll:

g(x) = \cot\left( x^2 \right)

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ \cot\left( x^2 \right) \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sin^2\left(x^2\right)} \cdot {\Bigl[ x^2 \Bigr]}' \\[0.75em] &= \frac{-1}{\sin^2\left(x^2\right)} \cdot 2x \\[0.75em] &= \frac{-2x}{\sin^2\left(x^2\right)} \end{align*}