Zyklische Gruppe
Bei einer zyklischen Gruppe handelt es sich um eine Gruppe, die aus einem ihrer Elemente vollständig erzeugt werden kann; bei allen Elementen der Gruppe handelt es sich folglich um Potenzen des erzeugenden Elements.
Definitionen
Zyklische Gruppe
Eine Gruppe \(\mathcal{G} = \bigl(G,\star\bigr)\) heißt zyklische Gruppe, falls sie ein Element \(a \in G\) enthält, das die Gruppe vollständig erzeugt, falls also gilt:
Eine Gruppe ist folglich genau dann zyklisch, wenn sie vollständig aus den Potenzen eines in ihr enthaltenen Elements \(a\) besteht. Das Element \(a\) wird in diesem Fall erzeugendes Element oder Erzeuger von \(\mathcal{G}\) genannt. Das erzeugende Element ist nicht notwendigerweise eindeutig bestimmt: Eine Gruppe kann mehrere erzeugende Elemente besitzen.
Ein alternatives Kriterium für ein erzeugendes Element \(a\) ist es, dass es lediglich eine einzige Untergruppe von \(\mathcal{G}\) gibt, die das Element \(a\) enthält – nämlich die Gruppe \(\mathcal{G}\) selbst.
Zu jeder natürlichen Zahl \(n \geq 1\) existiert eine zyklische Gruppe \(C_n\) mit genau \(n\) Elementen. Darüber hinaus existiert die unendliche zyklische Gruppe, die additive Gruppe \(\bigl(\Z,+\bigr)\) der ganzen Zahlen.
Notation
Für endliche zyklische Gruppen (der Ordnung \(n\)) werden im Wesentlichen die Notationen \(C_n\), \(\Z_n\) und \(\Z/n\Z\) verwendet. Für unendliche zyklische Gruppen werden oftmals die Notationen \(C_{\infty}\) und \(\Z\) verwendet.
Für \(\Z_n\), \(\Z/n\Z\) und \(\Z\) wird häufig eine additive Schreibweise verwendet; für \(C_n\) und \(C_{\infty}\) wird häufig eine multiplikative Schreibweise benutzt.
Die Bezeichnungen \(\Z_n\), \(\Z/n\Z\) und \(\Z\) basieren auf der Eigenschaft, dass es sich bei den additiven Gruppen der Restklassenringe \(\bigl(\Z_m,+,\cdot\bigr)\) bzw. des Rings der ganzen Zahlen \(\bigl(\Z,+,\cdot\bigr)\) um die bekanntesten Beispiele für zyklische Gruppen handelt.
Eigenschaften
Kommutativität
Zyklische Gruppen sind stets kommutativ bzw. abelsch. Dies ist eine direkte Konsequenz aus der Assoziativität und der Eigenschaft, dass es sich bei allen Elementen um eine Potenz \(a^n\) des erzeugenden Elements \(a\) handelt.
Erzeugende Elemente
Eine zyklische Gruppe kann mehrere erzeugende Elemente besitzen:
- Die erzeugenden Elemente von \(\bigl(\Z,+\bigr)\) sind die ganzen Zahlen \(+1\) und \(-1\).
- Die erzeugenden Elemente der additiven Gruppen \(\bigl(\Z_m,+\bigr)\) der Restklassen sind all diejenigen Elemente, die teilerfremd zum Modul \(m\) sind. Die Anzahl \(\varphi(m)\) der erzeugenden Elemente kann mithilfe der eulerschen \(\varphi\)-Funktion bestimmt werden.
- Bei zyklischen Gruppen mit Primzahlordnung sind alle Elemente mit Ausnahme des neutralen Elements erzeugende Elemente.
Ordnung der Elemente
Ist \(d\) ein Teiler der Gruppenordnung \(n\) einer zyklischen Gruppe, dann handelt es sich bei \(\varphi(d)\) um die Anzahl derjenigen Elemente in \(\Z/n\Z\), die die Ordnung \(d\) besitzen.
Direktes Produkt
Das direkte Produkt \(C_n \times C_m\) zweier zyklischer Gruppen \(C_n\) und \(C_m\) ist genau dann eine zyklische Gruppe, wenn \(n\) und \(m\) teilerfremd sind; in diesem Fall ist das direkte Produkt isomorph zur zyklischen Gruppe \(C_{n \cdot m}\).
Jede endlich erzeugte abelsche Gruppe ist isomorph zu einem direkten Produkt endlich vieler (endlicher oder unendlicher) zyklischer Gruppen.
Untergruppen
Alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind stets zyklisch.
Bei den Untergruppen der zyklischen Gruppe \(\bigl(\Z,+\bigr)\) handelt es sich um die Gruppen \(\bigl(m\Z,+\bigr)\), also um die Menge aller ganzzahligen Vielfachen einer natürlichen Zahl \(m \geq 1\). Diese sind stets isomorph zu \(\Z\).
Für jeden positiven ganzzahligen Teiler \(d\) der Gruppenordnung \(m\) hat die Gruppe \(C_m= \Z_m\) genau eine Untergruppe der Ordnung \(d\), nämlich die durch das Element \(\frac{m}{d}\) erzeugte Untergruppe.
Isomorphie
Zyklische Gruppen derselben Ordnung sind stets isomorph.
Seien \(a \in C_n\) und \(b \in C_n'\) erzeugende Elemente der zyklischen Gruppen \(C_n\) bzw. \(C_n'\). Bei der folgenden Abbildung \(\varphi: C_n \rightarrow C_n'\) mit
handelt es sich dann stets um eine strukturerhaltende, bijektive Abbildung zwischen den Mengen \(C_n\) und \(C_n'\), woraus unmittelbar die Isomorphie der beiden Gruppen folgt.
Beispiele
Drehgruppen
Endliche zyklische Gruppen \(C_n\) können mithilfe einer Drehgruppe regulärer \(n\)-Ecke in der Ebene visualisiert werden. Die Gruppe \(C_3\) besteht beispielsweise aus den möglichen Drehungen in der Ebene, die ein (gleichseitiges) Dreieck in sich selbst überführen.
Die Abbildung zeigt ein gleichseitiges Dreieck: in seiner Ausgangsform \(i\), nach einer Drehung \(r\) um \({120}^\circ\) und nach einer Drehung \(s\) um \({240}^\circ\) (jeweils entgegen dem Uhrzeigersinn). Die Elemente der Gruppe sind hierbei die Drehungen \(i\), \(r\) und \(s\). Alle Elemente der Gruppe können durch wiederholtes Anwenden der Drehung \(r\) erhalten werden. Bei \(r\) (und auch bei \(s\)) handelt es sich um ein erzeugendes Element der Gruppe.
Restklassengruppen
Die Menge der Restklassen modulo \(m\) bildet gemeinsam mit der Addition von Restklassen modulo \(m\) ein weiteres Beispiel für zyklische Gruppen, wie im folgenden an der Gruppe \(\bigl(\Z_4,+\bigr)\) exemplarisch gezeigt wird; es gilt:
Beim Element \({[1]}_4\) handelt es sich um ein erzeugendes Element der Gruppe, denn es gilt, dass alle Elemente aus \(\Z_4\) durch wiederholtes Addieren des Elements \({[1]}_4\) erzeugt werden können:
Aufgrund der Nichteindeutigkeit können weitere erzeugende Elemente existieren. Für die Gruppe \(\bigl(\Z_4,+\bigr)\) gilt dies beispielsweise für das Element \({[3]}_4\):
Bei den Elementen \({[0]}_4\) und \({[2]}_4\) handelt es sich hingegen nicht um erzeugende Elemente.