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Eulersche Formel

Bei der eulerschen Formel (auch Eulerformel oder manchmal eulersche Relation) handelt es sich um eine mathematische Gleichung, die eine grundlegende Verbindung zwischen komplexen Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen beschreibt. Sie ist nach dem Schweizer Mathematiker Leonhard Euler benannt.

Inhalt

Definitionen
Herleitung
Eigenschaften

Definitionen

Eulersche Formel

Bei der eulerschen Formel handelt es sich um die folgende, für alle reellen Zahlen \(y \in \R\) gültige Formel:

e^{iy} = \cos{(y)} + i \cdot \sin{(y)}.

Bei \(e\) handelt es sich um die eulersche Zahl; mit \(i\) ist die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen bezeichnet.

Als wichtige Folgerung aus der eulerschen Formel ergibt sich für alle komplexen Zahlen \(z \in \C\) mit \(z=x+iy\) die folgende Gleichheit:

e^z = e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy} = e^x \cdot \bigl( \cos(y) + i \cdot \sin(y) \bigr).

Eulersche Identität

Für \(y=\pi\) ergibt sich aus der eulerschen Formel unmittelbar die eulersche Identität:

e^{i\pi} = -1.

Diese stellt einen elementaren Zusammenhang zwischen einigen der bedeutendsten mathematischen Konstanten her: der eulerschen Zahl \(e\), der Kreiszahl \(\pi\), der imaginären Einheit \(i\) sowie der reellen Einheit \(1\).

Oftmals wird die folgende, umgeformte Variante der eulerschen Identität verwendet, in der zusätzlich eine weitere bedeutende Konstante, die Null, vorkommt:

e^{i\pi} + 1 = 0.

Herleitung

Die eulersche Formel kann mithilfe der maclaurinschen Reihen (Taylorreihen mit dem Entwicklungspunkt \(x_0=0\)) der Exponentialfunktion \(e^y\), der Sinusfunktion \(\sin(y)\) sowie der Kosinusfunktion \(\cos(y)\) hergeleitet werden. Es gilt

\begin{align*} e^{iy} &\overset{(1)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!}\,{(iy)}^k} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} 1 + iy - \frac{y^2}{2!} - i \cdot \frac{y^3}{3!} + \frac{y^4}{4!} + i \cdot \frac{y^5}{5!} + \ldots \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \left( 1 - \frac{y^2}{2!} + \frac{y^4}{4!} - \ldots \right) + i \cdot \left( y - \frac{y^3}{3!} + \frac{y^5}{5!} - \ldots \right) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1})^k}{(2k)!}\,y^{2k}} + i \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{{(-1})^{k}}{(2k+1)!}\,y^{2k+1}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \cos{(y)} + i \cdot \sin{(y)} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von \(e^{iy}\) durch die Reihenentwicklung der Exponentialfunktion
(2)	Aufschreiben der Summe ohne Summenzeichen Vereinfachen der Potenzen von \(i\) mithilfe der Gleichheit \(i^2=-1\)
(3)	Gruppieren in gerade und ungerade Potenzen von \(y\)
(4)	Darstellen der (geklammerten) Summen mithilfe des Summenzeichens
(5)	Ersetzen der Reihenentwicklung der Kosinusfunktion durch \(\cos(y)\) Ersetzen der Reihenentwicklung der Sinusfunktion durch \(\sin(y)\)

Eigenschaften

Zusammenhang zwischen Exponential- und trigonometrischen Funktionen

Die eulersche Formel stellt einen Zusammenhang zwischen der (komplexen) Exponentialfunktion und den reellen trigonometrischen Funktionen her.

Addition einer komplexen Zahl \(z\) und ihrer Konjugierten \(\overline{z}\) sowie anschließende Division durch 2 liefert den Realteil der komplexen Zahl \(z\):

\cos(x) = \operatorname{Re}\left(e^{ix}\right) = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}

Analog liefert die Subtraktion einer komplexen Zahl \(z\) und ihrer Konjugierten \(\overline{z}\) sowie anschließende Division durch \(2i\) den Imaginärteil der komplexen Zahlen \(z\); es gilt:

\sin(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ix}\right) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}.

Zusammenhang zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen

Unter Verwendung von imaginären Argumenten ergeben sich aus den Aussagen des vorausgehenden Abschnitts die folgenden Zusammenhänge zwischen trigonometrischen und hyperbolischen Funktionen:

\begin{align*} \sin(iy) &= \frac{e^{-y} - e^y}{2i} = i \cdot \frac{e^y-e^{-y}}{2} = i \cdot \sinh(y) \\[0.5em] \cos(iy) &= \frac{e^{-y} + e^y}{2} = \frac{e^y-e^{-y}}{2} = \cosh(y). \end{align*}