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Exponentialfunktion
Definition
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Funktionsgraph
Eigenschaften
| Basis $a \gt 1$ | Basis $0 \lt a \lt 1$ | |
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| Definitionsbereich |
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| Wertebereich |
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| Periodizität |
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| Monotonie |
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| Krümmung |
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| Symmetrien |
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| Asymptoten |
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| Nullstellen |
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| Sprungstellen |
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| Polstellen |
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| Extrema |
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| Wendepunkte |
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Ableitung
Die Ableitung der Exponentialfunktion lautet:
\begin{align*} \Bigl[ e^x \Bigr]' &= \frac{d}{dx} e^x = e^x \\[0.75em] \Bigl[ a^x \Bigr]' &= \frac{d}{dx} a^x = a^x \cdot \ln{a} \end{align*}
Stammfunktion
Die Stammfunktion der Exponentialfunktion lautet:
\begin{align*} \int{e^x\ dx} &= e^x {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \\[0.75em] \int{a^x\ dx} &= \frac{1}{\ln{a}} \cdot a^x {\color{lightgray}{} + \mathcal{C}} \end{align*}
Reihenentwicklung
Die Exponentialfunktion besitzt die folgende Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $x_0=0$:
\begin{align*} e^x &= \sum\limits_{k=0}^{\infty}{\frac{1}{k!} \cdot x^k} \\[0.75em] &= 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \frac{1}{4!} x^4 + \ldots \end{align*}