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Komposition von Funktionen

Bei der Komposition von Funktionen (auch Verkettung oder Nacheinanderausführung) handelt es sich um eine zweistellige Verknüpfung, die zwei Funktionen zu einer neuen Funktion verknüpft. Sie wird typischerweise durch den Kompositionsoperator \(\circ\) dargestellt.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften
Iterationen bzw. Potenzen von Funktionen
Algebraische Strukturen

Definition

Gegeben seien beliebige Mengen \(A\), \(B\) und \(C\) sowie Funktionen \(f: A \rightarrow B\) und \(g: B \rightarrow C\). Die Funktion

\begin{array}{c} g \circ f: A \rightarrow C \\[0.5em] x \mapsto (g \circ f)(x) := g(f(x)) \end{array}

heißt Komposition (auch Verkettung oder Nacheinanderausführung) von \(f\) und \(g\). Der Ausdruck \(g \circ f\) wird als \(g\) verknüpft mit \(f\), \(g\) komponiert mit \(f\) oder einfach \(g\) nach \(f\) gelesen.

Wichtig: Bei der Nacheinanderausführung \(g \circ f\) wird zuerst die hintere Funktion \(f\) ausgeführt, und anschließend die Funktion \(g\).

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien zwei reelle Funktionen \(f: \R \rightarrow \R\) und \(g: \R \rightarrow \R\) mit

\begin{align*} f(x) &= 2x \\[0.5em] g(x) &= x - 1. \end{align*}

Für die Funktion \(h = g \circ f\) ergibt sich somit:

\begin{align*} h(x) &= (g \circ f)(x) \\[0.5em] &= g(f(x)) \\[0.5em] &= g(2x) \\[0.5em] &= 2x-1. \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben seien drei reelle Funktionen \(f: \R \rightarrow \R\), \(g: \R \rightarrow \R\) und \(h: \R \rightarrow \R\) mit

\begin{align*} f(x) &= x+1 \\[0.5em] g(x) &= \frac{x}{2} \\[0.5em] h(x) &= x^2. \end{align*}

Für die Funktion \(i = h \circ g \circ f\) ergibt sich somit:

\begin{align*} i(x) &= (h \circ g \circ f)(x) \\[0.5em] &= h(g(f(x))) \\[0.5em] &= h(g(x+1)) \\[0.5em] &= h\left(\frac{x+1}{2}\right) \\[0.5em] &= {\left(\frac{x+1}{2}\right)}^2 \\[0.5em] &= \frac{x^2+2x+1}{4}. \end{align*}

Eigenschaften

Assoziativität

Die Komposition von Funktionen \(f: A \rightarrow B\), \(g: B \rightarrow C\) und \(h: C \rightarrow D\) ist assoziativ; es gilt:

\bigl((h \circ g) \circ f \bigr)(x) = \bigl(h \circ (g \circ f)\bigr)(x)

Die Assoziativität der Nacheinanderausführung von Funktionen kann durch direktes Nachrechnen gezeigt werden:

\begin{align*} \bigl((h \circ g) \circ f \bigr)(x) &\overset{(1)}{=} (h \circ g)(f(x)) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} h(g(f(x))) \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} h((g \circ f)(x)) \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \bigl(h \circ (g \circ f)\bigr)(x). \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Komposition der Funktionen \(h \circ g\) und \(f\)
(2)	Definition der Komposition der Funktionen \(h\) und \(g\)
(3)	Definition der Komposition der Funktionen \(g\) und \(f\)
(4)	Definition der Komposition der Funktionen \(h\) und \(g \circ f\)

Hinweis: Wie üblich kann bei assoziativen Verknüpfungen auch eine klammerfreie Notation verwendet werden.

Kommutativität

Die Komposition von Funktionen \(f: A \rightarrow B\) und \(g: B \rightarrow C\) ist im Allgemeinen nicht kommutativ; es gilt:

(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x).

Die Nichtkommutativität der Nacheinanderausführung von Funktionen ergibt sich für Funktionen \(f: A \rightarrow B\) und \(g: B \rightarrow C\) mit beliebigen Mengen \(A,B,C\) mit \(A \neq C\) bereits aus der Inkompatibilität der Definitions- und Zielmengen der Funktionen \(f\) und \(g\).

Auch für übereinstimmende Definitions- und Zielmengen der Funktionen \(f\) und \(g\) gilt die Kommutativität im Allgemeinen nicht. Gegeben seien die beiden Funktionen

\begin{align*} f: \R \rightarrow \R, &\quad x \mapsto x^2 \\[0.5em] g: \R \rightarrow \R, &\quad x \mapsto 2x-1. \end{align*}

Für die Kompositionen \(g \circ f\) und \(f \circ g\) gilt

\begin{align*} (g \circ f)(x) &= g(f(x)) \\[0.5em] &= g(x^2) \\[0.5em] &= 2x^2-1 \\[1.5em] (f \circ g)(x) &= f(g(x)) \\[0.5em] &= f(2x-1) \\[0.5em] &= {(2x-1)}^2 \\[0.5em] &= 4x^2-4x+1, \end{align*}

woraus unmittelbar die Nichtkommutativität der Nacheinanderausführung von Funktionen folgt.

Neutrales Element

Die identische Abbildung ist das neutrale Element der Komposition. Für eine Funktion \(f: A \rightarrow B\) gilt:

f \circ \id_A = f = \id_B \circ f.

Bei \(\id_A\) bzw. \(\id_B\) handelt es sich um die identische Abbildung auf den Mengen \(A\) bzw. \(B\).

Inverses Element

Das inverse Element einer Funktion bezüglich der Komposition von Funktionen existiert im Allgemeinen nicht.

Für bijektive Funktionen \(f: A \rightarrow B\) existiert stets eine Umkehrfunktion \(f^{-1}: B \rightarrow A\) und es gilt:

\begin{align*} f \circ f^{-1} &= \id_B \\[0.5em] f^{-1} \circ f &= \id_A. \end{align*}

Bei \(\id_A\) bzw. \(\id_B\) handelt es sich um die identische Abbildung auf den Mengen \(A\) bzw. \(B\).

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

Für die Komposition von Funktionen gelten die folgenden Eigenschaften:

Die Verkettung injektiver Funktionen ist injektiv.
Die Verkettung surjektiver Funktionen ist surjektiv.
Die Verkettung bijektiver Funktionen ist bijektiv.

Umgekehrt gilt: Ist die Verkettung \(g \circ f\)

injektiv, so ist \(f\) injektiv;
surjektiv, so ist \(g\) surjektiv;
bijektiv, so ist \(f\) injektiv und \(g\) surjektiv.

Iterationen bzw. Potenzen von Funktionen

Gegeben sei eine Funktion \(f: A \rightarrow A\) auf einer Menge \(A\). Diese kann mit sich selbst zu einer Funktion \(f \circ f: A \rightarrow A\) verkettet werden. Für jede natürliche Zahl \(n\) kann hiermit die n-te Iteration (auch n-te Potenz) \(f^n\) der Funktion \(f\) wie folgt definiert werden:

\begin{align*} f^1 &= f \\[0.5em] f^{n+1} &= f \circ f^n. \end{align*}

Darüber hinaus wird

f^0 = \id_A

definiert, wobei die identische Abbildung \(\id_A\) das neutrale Element der Komposition ist.

Ist die Funktion \(f\) zudem bijektiv, so existiert eine Umkehrfunktion \(f^{-1}\). Für negative Iterationen bzw. Potenzen gilt dann:

f^{-n} = {\left( f^{-1} \right)}^n.

Algebraische Strukturen

Sei \(\mathcal{F}(A)\) die Menge aller Funktionen auf einer Menge \(A\). Bei der Komposition \(\circ\) der Elemente aus \(\mathcal{F}(A)\) handelt es sich dann um eine innere zweistellige Verknüpfung, bezüglich der die Menge \(\mathcal{F}(A)\) einen Monoid bildet. Die identische Abbildung \(\id_A\) ist hierbei das neutrale Element.

Werden ausschließlich bijektive Funktionen betrachtet, so handelt es sich sogar um eine Gruppe. Bei den Umkehrfunktionen handelt es sich dann um die inversen Elemente. Ist die Menge \(A\) zudem endlich und besitzt \(n\) Elemente, gilt also \(|A|=n\), so handelt es sich um die symmetrische Gruppe \(\mathcal{S}_n\).