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Logarithmusgesetz I-a: Logarithmus eines Produkts

Bei Logarithmusgesetz I-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus eines Produkts berechnet werden kann.

Definition

Der Logarithmus des Produkts von zwei nichtnegativen reellen Zahlen $x,y \in \R$ kann berechnet werden, indem die Logarithmen der beiden reellen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\[ \log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} = \log_b{x} + \log_b{y}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Allgemein: Der Logarithmus des Produkts mehrerer nichtnegativer reeller Zahlen kann analog berechnet werden, indem die Logarithmen der reellen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} \log_b{\left( \prod\limits_{i=1}^{n}{x_i} \right)} &= \log_b{\bigl( x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \bigr)} \\[0.5em] &= \log_b{x_1} + \ldots + \log_b{x_n} \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{n}{\log_b{x_i}}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts mit zwei Faktoren bestimmt.

\[ \ln{\bigl( a \cdot b^2 \bigr)} = \ln{a} + \ln{b^2} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts von zwei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_3{\bigl( 3 \cdot 27 \bigr)} &= \log_3{3} + \log_3{27} \\[0.5em] &= 1 + 3 \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts von drei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\bigl( 2 \cdot 16 \cdot 4 \bigr)} &= \log_2{2} + \log_2{16} + \log_2{4} \\[0.5em] &= 1 + 4 + 2 \\[0.5em] &= 7 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion existieren dann eindeutig bestimmte reelle Zahlen $m,n \in \R$ mit $x = b^m$ und $y = b^n$. Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\begin{align*} x = b^m &\quad\Leftrightarrow\quad m = \log_b{x} \\[0.5em] y = b^n &\quad\Leftrightarrow\quad n = \log_b{y}. \end{align*}

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\bigl( b^m \cdot b^n \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m+n} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m+n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \log_b{x} + \log_b{y}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von $x = b^m$
  • Einsetzen von $y = b^n$
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von $m = \log_b{x}$
  • Einsetzen von $n = \log_b{y}$