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Logarithmus eines Produkts (Logarithmusgesetz I-a)

Bei Logarithmusgesetz I-a zum Logarithmus eines Produkts, auch Produktregel für Logarithmen genannt, handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Logarithmus von Produkten mit zwei oder mehr Faktoren auf die Logarithmen der einzelnen Faktoren zurückgeführt werden kann.

Definition

Logarithmus eines Produkts mit zwei Faktoren

Der Logarithmus des Produkts von zwei positiven reellen Zahlen $x,y \in \R$ kann berechnet werden, indem die Logarithmen der beiden reellen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} = \log_b{x} + \log_b{y}.

In Worten: Der Logarithmus des Produkts entspricht der Summe der Logarithmen der Faktoren.

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Logarithmus eines Produkts mit mehreren Faktoren

Allgemein gilt: Der Logarithmus eines Produkts mehrerer positiver reeller Zahlen kann analog berechnet werden, indem die Logarithmen der reellen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} \log_b{\left( \prod\limits_{i=1}^{n}{x_i} \right)} &= \log_b{\bigl( x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \bigr)} \\[0.5em] &= \log_b{x_1} + \ldots + \log_b{x_n} \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{n}{\log_b{x_i}}. \end{align*}

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für positive reelle Zahlen $x_1,\ldots,x_n \in \R$ mit $x_i \gt 0$ (für $n \in \N$ und $1 \leq i \leq n$) und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird der natürliche Logarithmus eines Produkts mit zwei Faktoren bestimmt.

\begin{align*} \ln{\bigl( m \cdot c^2 \bigr)} &= \ln{m} + \ln{c^2} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} \ln{m} + 2 \cdot \ln{c} \end{align*}

Hinweis: Im letzten Schritt $(\star)$ wurde Logarithmusgesetz II verwendet, um die Logarithmus der Potenz weiter zu vereinfachen.

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts von zwei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_3{\bigl( 3 \cdot 27 \bigr)} &= \log_3{3} + \log_3{27} \\[0.5em] &= 1 + 3 \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Beispiel 3

In Beispiel 3 wird der Logarithmus eines Produkts einer ganzen Zahl und einer Variable bestimmt.

\begin{align*} \log_5{\bigl( 25 \cdot x \bigr)} &= \log_5{25} + \log_5{x} \\[0.5em] &= 2 + \log_5{x} \end{align*}

Beispiel 4

Im vierten Beispiel wird der Logarithmus eines Produkts von drei ganzen Zahlen berechnet.

\begin{align*} \log_2{\bigl( 2 \cdot 16 \cdot 4 \bigr)} &= \log_2{2} + \log_2{16} + \log_2{4} \\[0.5em] &= 1 + 4 + 2 \\[0.5em] &= 7 \end{align*}

Beweis

Beweis des Logarithmusgesetzes

Das Logarithmusgesetz für Logarithmen von Produkten mit zwei Faktoren kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ sowie eine reelle Zahl $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$. Aufgrund der Bijektivität der Exponentialfunktion existieren eindeutig bestimmte reelle Zahlen $m,n \in \R$ mit $x = b^m$ und $y = b^n$. Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\begin{align*} x = b^m &{}\iff m = \log_b{x} \\[0.5em] y = b^n &{}\iff n = \log_b{y}. \end{align*}

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\bigl( b^m \cdot b^n \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m+n} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m+n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \log_b{x} + \log_b{y}. \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Einsetzen von $x = b^m$ Einsetzen von $y = b^n$
(2)	Anwenden von Potenzgesetz I-a für reelle Exponenten
(3)	Anwenden der Definition des Logarithmus
(4)	Einsetzen von $m = \log_b{x}$ Einsetzen von $n = \log_b{y}$

Beweis des Logarithmusgesetzes (allgemein)

Der Beweis der Produktregel für Logarithmen von Produkten mit beliebig vielen Faktoren kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits im vorausgehenden Abschnitt durch Nachrechnen erbrachte Beweis verwendet, dass das Rechengesetz für Produkten mit zwei Faktoren gilt. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Formel sei für Logarithmen von Produkten mit $n$ Faktoren gültig, dann auch die Gültigkeit für Produkte mit $n+1$ Faktoren folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $n=2$ gültig, wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Das Logarithmusgesetz gilt für ein fest gewähltes $n \in \N$ mit $n \geq 2$.

Für den Logarithmus eines Produkts mit $n+1$ Faktoren gilt dann:

\begin{align*} \log_b\left( \prod\limits_{k=1}^{n+1}{x_k} \right) &\overset{(1)}{=} \log_b{\left( \left(\prod\limits_{k=1}^{n}{x_k}\right) \cdot x_{n+1} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\left(\prod\limits_{k=1}^{n}{x_k}\right)} + \log_b{\bigl( x_{n+1} \bigr)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n}{\log_b{\bigl( x_k \bigr)}} + \log_b{\bigl( x_{n+1} \bigr)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sum\limits_{k=1}^{n+1}{\log_b{\bigl( x_k \bigr)}} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Zurückführen des Logarithmus des Produkts mit $n+1$ Faktoren auf den Logarithmus eines Produkts mit 2 Faktoren Herausziehen des Faktors $x_{n+1}$ aus dem Produktzeichen
(2)	Anwenden des Logarithmusgesetzes für den Fall mit zwei Faktoren
(3)	Ausrechnen des Logarithmus $\log_b{\left(\prod\limits_{k=1}^{n}{x_k}\right)}$ mithilfe der Produktregel des Logarithmus, die gemäß Induktionsannahme für Produkte mit $n$ Faktoren gilt
(4)	Hineinziehen des Summanden $x_{n+1}$ in das Summenzeichen

Insgesamt folgt, dass die Produktregel des Logarithmus für Produkte mit $n+1$ Faktoren gilt, falls sie für Produkte mit $n$ Faktoren gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit der Produktregel des Logarithmus für alle Produkte mit $n \geq 2$ Faktoren.