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Logarithmusgesetz I-a: Logarithmus eines Produkts

Bei Logarithmusgesetz I-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Logarithmus eines Produkts berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Der Logarithmus des Produkts von zwei nichtnegativen reellen Zahlen \(x,y \in \R\) kann berechnet werden, indem die Logarithmen der beiden reellen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\[ \log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} = \log_b{x} + \log_b{y}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

Allgemein: Der Logarithmus des Produkts mehrerer nichtnegativer reeller Zahlen kann analog berechnet werden, indem die Logarithmen der reellen Zahlen addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} \log_b{\left( \prod\limits_{i=1}^{n}{x_i} \right)} &= \log_b{\bigl( x_1 \cdot \ldots \cdot x_n \bigr)} \\[0.5em] &= \log_b{x_1} + \ldots + \log_b{x_n} \\[0.5em] &= \sum\limits_{i=1}^{n}{\log_b{x_i}}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts mit zwei Faktoren bestimmt.

\[ \ln{\bigl( a \cdot b^2 \bigr)} = \ln{a} + \ln{b^2} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts von zwei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_3{\bigl( 3 \cdot 27 \bigr)} &= \log_3{3} + \log_3{27} \\[0.5em] &= 1 + 3 \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch der Logarithmus eines Produkts von drei ganzen Zahlen bestimmt.

\begin{align*} \log_2{\bigl( 2 \cdot 16 \cdot 4 \bigr)} &= \log_2{2} + \log_2{16} + \log_2{4} \\[0.5em] &= 1 + 4 + 2 \\[0.5em] &= 7 \end{align*}

Beweis

Das Logarithmusgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(x,y \in \R\) mit \(x \gt 0\) und \(y \gt 0\) sowie eine reelle Zahl \(b \in \R\) mit \(b \gt 0\) und \(b \neq 1\). Aufgrund der strengen Monotonie der Exponentialfunktion existieren dann eindeutig bestimmte reelle Zahlen \(m,n \in \R\) mit \(x = b^m\) und \(y = b^n\). Gemäß der Definition des Logarithmus gilt dann:

\begin{align*} x = b^m &\quad\Leftrightarrow\quad m = \log_b{x} \\[0.5em] y = b^n &\quad\Leftrightarrow\quad n = \log_b{y}. \end{align*}

Das Logarithmusgesetz ergibt sich nun wie folgt:

\begin{align*} \log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} &\overset{(1)}{=} \log_b{\bigl( b^m \cdot b^n \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \log_b{\bigl( b^{m+n} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} m+n \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \log_b{x} + \log_b{y}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Einsetzen von \(x = b^m\)
  • Einsetzen von \(y = b^n\)
(2)
(3)
(4)
  • Einsetzen von \(m = \log_b{x}\)
  • Einsetzen von \(n = \log_b{y}\)