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Logarithmus

Beim Logarithmus einer Zahl handelt es sich um den Exponenten, mit dem die Basis des Logarithmus potenziert werden muss, um den zu logarithmierenden Wert, den Numerus, zu erhalten. Es handelt sich um eine Umkehrung des Potenzierens.

Inhalt

Definition
Beispiele
Rechenregeln
Basisumrechnung

Definition

Logarithmus

Gegeben seien zwei positive reelle Zahlen $a,b \in \R^+$ mit $b \neq 1$. Beim Logarithmus von $\mathbf{a}$ zur Basis $\mathbf{b}$ handelt es sich um diejenige reelle Zahl $c \in \R$, mit der die Basis $b$ potenziert werden muss, um den Wert $a$ zu erhalten – für die also gilt:

\[ b^c = a. \]

Für den Logarithmus von $a$ zur Basis $b$ wird standardmäßig

c = \log_b{a}

geschrieben. Bei $c$ handelt es sich um den Logarithmus von $a$ zur Basis $b$. Der zu logarithmierende Wert $a$ wird als Numerus bezeichnet.

Die Formeln $b^c=a$ und $c=\log_b{a}$ sind äquivalent und können direkt ineinander überführt werden.

Hinweis: Neben der Definition als Umkehrung des Potenzierens existieren weitere Definitionen des Logarithmus, bspw. über Potenzreihen.

Schreibweise

Spielt die verwendete Basis $b$ keine Rolle oder ist sie aus dem Zusammenhang ersichtlich, so wird anstelle von $\log_b{a}$ häufig auch die folgende Schreibweise verwendet, die auf die Nennung der Basis verzichtet:

\log{a}.

Typische Vertreter

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige typische Vertreter für Logarithmen:

Beim logarithmus naturalis oder natürlichen Logarithmus handelt es sich um den Logarithmus zur Basis $e$, der Eulerschen Zahl. Er wird typischerweise durch die folgende Schreibweise dargestellt: $\ln.$
Beim dekadischen Logarithmus oder Zehnerlogarithmus handelt es sich um den Logarithmus zur Basis $10$. Er wird häufig bei Berechnungen im Dezimalsystem verwendet und typischerweise durch die folgenden Schreibweisen dargestellt: $\lg \qquad\text{oder}\qquad \log_{10}.$
Beim binären Logarithmus, logarithmus dualis oder Zweierlogarithmus handelt es sich um den Logarithmus zur Basis $2$. Er wird (in der Informatik) häufig bei Berechnungen im Binärsystem verwendet und typischerweise durch die folgenden Schreibweisen dargestellt: $\operatorname{lb}, \qquad \operatorname{ld} \qquad\text{oder}\qquad \log_{2}.$

Beispiele

Es gelten exemplarisch die folgenden Beispiele für Logarithmen:

$\log_5{25} = 2$
$\log_3{243} = 5$
$\log_2{\frac{1}{8}} = -3$
$\ln{e^{-2}} = -2$

Rechenregeln

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten die folgenden Rechenregeln:

	Logarithmusgesetz	Anwendbarkeit
I-a (Details)	$\displaystyle \log_b{\bigl( x \cdot y \bigr)} = \log_b{x} + \log_b{y}$	für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.
I-b (Details)	$\displaystyle \log_b{\left( \frac{x}{y} \right)} = \log_b{x} - \log_b{y}$	für positive reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.
II (Details)	$\displaystyle \log_b{\left( x^y \right)} = y \cdot \log_b{x}$	für reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.
III (Details)	$\displaystyle \log_b{\left( \sqrt[n]{x} \right)} = \frac{1}{n} \cdot \log_b{x}$	für reelle Zahlen $x \in \R$ mit $x \gt 0$, natürliche Zahlen $n \in \N$ und positive reelle Basen $b \in \R$ mit $b \gt 0$ und $b \neq 1$.

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Rechenregeln für Summen und Differenzen

Mithilfe von Logarithmusgesetz I-a kann eine Rechenregel für den Logarithmus von Summen und Differenzen $x \pm y$ hergeleitet werden, indem $x$ bzw. $y$ ausgeklammert wird. Es gilt

\begin{align*} \log_b(x \pm y) &= \log_b\left( x \cdot \left( 1 \pm \frac{y}{x} \right) \right) \\[0.5em] &= \log_b{x} + \log_b\left(1 \pm \frac{y}{x} \right) \end{align*}

sowie

\begin{align*} \log_b(x \pm y) &= \log_b\left( \left( \frac{x}{y} \pm 1 \right) \cdot y \right) \\[0.5em] &= \log_b\left( \frac{x}{y} \pm 1 \right) + \log_b{y}. \end{align*}

Basisumrechnung

Der Logarithmus zur Basis $b$ kann mithilfe der folgenden Formel durch den Logarithmus zu einer beliebigen Basis $c$ ersetzt werden:

\log_b{x} = \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}}.

Es sei $y = \log_b{x}$. Gemäß der Definition des Logarithmus ergibt sich hieraus direkt $b^y = x$. Logarithmieren dieser Gleichung und anschließendes Umstellen nach $y$ liefert die gesuchte Formel.

\begin{align*} \begin{alignedat}{5} & & \quad y &= \log_b(x) \\[0.5em] & \Leftrightarrow & \quad b^y &\overset{(1)}{=} x \\[0.5em] & \Leftrightarrow & \quad \log_c\left( b^y \right) &\overset{(2)}{=} \log_c{x} \\[0.5em] & \Leftrightarrow & \quad y \cdot \log_c{b} &\overset{(3)}{=} \log_c{x} \\[0.5em] & \Leftrightarrow & \quad y &\overset{(4)}{=} \frac{\log_c{x}}{\log_c{b}} \end{alignedat} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition des Logarithmus.
(2)	Logarithmieren der Gleichung mit $\log_c$.
(3)	Anwenden von Logarithmusgesetz II.
(4)	Umstellen nach $y$.

Beispiel

Das folgende Beispiel zeigt exemplarisch die Berechnung eines Logarithmus zur Basis $4$ mithilfe einer Umrechnung in den Logarithmus zur Basis $2$.

\begin{align*} \log_4{32} &= \frac{\log_2{32}}{\log_2{4}} \\[0.5em] &= \frac{5}{2} \end{align*}