Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis (Potenzgesetz I-a)

Produkt von zwei Potenzen mit gleicher Basis

Für eine reelle Basis $x \in \R$ und zwei reelle Exponenten $m,n \in \R$ kann das Produkt von Potenzen mit gleicher Basis $x^m$ und $x^n$ berechnet werden, indem die beiden Exponenten $m$ und $n$ addiert werden und die gemeinsame Basis $x$ anschließend mit der Summe der Exponenten potenziert wird. Es gilt:

In Worten: Das Produkt der Potenzen wird berechnet, indem die Basis mit der Summe der Exponenten potenziert wird.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die zusammengefasste Potenz kann insbesondere wieder in ein Produkt von zwei Potenzen umgeformt werden.

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

• für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $m$ und $n$;
• für $x = 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $m$ und $n$, falls zusätzlich $m \geq 0$ und $n \geq 0$ gilt;
• für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern.

Produkt von mehreren Potenzen mit gleicher Basis

Allgemein gilt: Das Produkt von mehreren Potenzen derselben Basis $x \in \R$ kann analog zusammengefasst werden, indem die gemeinsame Basis $x$ beibehalten wird und alle Exponenten addiert werden. Es gilt:

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden (für $k \in \N$ und $k \geq 2$):

• für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n_1,\ldots,n_k$;
• für $x = 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n_1,\ldots,n_k$, falls zusätzlich $n_i \geq 0$ (für $1 \leq i \leq k$) gilt;
• für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern.

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Potenzen einer Variablen $a$ mit natürlichen Exponenten berechnet.

Beispiel 2

Das zweite Beispiel zeigt exemplarisch, wie das Produkt von zwei Potenzen mit einem ganzzahligen und einem rationalen Exponenten berechnet wird.

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird das Produkt von vier Potenzen berechnet, die dieselbe ganzzahlige Basis und ganzzahlige Exponenten besitzen.

Beispiel 4

Im vierten Beispiel wird gezeigt, wie das Potenzgesetz verwendet werden kann, um eine Potenz aufzuteilen, um anschließend weitere Vereinfachungen vornehmen zu können.

An der Stelle ($\diamond$) wird Potenzgesetz I-a verwendet, um den Term $2^5$ bzw. $2^{4+1}$ umzuschreiben, an der Stelle ($\star$) wird anschließend die Wurzel mithilfe von Wurzelgesetz I-a aufgeteilt.

Beweis des Potenzgesetzes für natürliche Exponenten

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N_0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $x^m$ und $x^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $m$ bzw. $n$ mal den Faktor $x$ besitzen. Falls $m=0$ oder $n=0$ gilt, handelt es sich bei $x^m$ bzw. $x^n$ um das leere Produkt, das aus null Faktoren besteht und den Wert 1 besitzt. Das Produkt der beiden Potenzen kann dann wie folgt zusammengefasst werden:

Hinweis: Bei dieser Umformung ändert sich genau genommen die Klammerung des Ausdrucks, weil nicht mehr zunächst die Potenzen $x^m$ und $x^n$ berechnet werden und anschließend ihr Produkt bestimmt wird. Aufgrund der Assoziativität der Multiplikation ist jedoch garantiert, dass das Ergebnis hierdurch nicht verändert wird.

Beweis des Potenzgesetzes für ganzzahlige Exponenten

Für die Erweiterung des Potenzgesetzes auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

• Fall 1: $m \geq 0$ und $n \geq 0$
  

  Dieser Fall entspricht dem Produkt zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

• Fall 2: $m \geq 0$ und $n \lt 0$
  

  Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \geq 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $n \lt 0$ gilt $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Für das Produkt der Potenzen gilt dann:

  \begin{align*} x^m \cdot x^n &\overset{(1)}{=} x^m \cdot x^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} x^m \cdot \frac{1}{x^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{x^m}{x^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} x^{m - |n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{m+n} \end{align*}

  Erklärungen zu den Schritten
  (1)	Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-|n|$
  (2)	Umschreiben von $x^{-|n|}$ mithilfe der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (3)	Zusammenfassen zu einem Quotienten
  (4)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für ganzzahlige Exponenten
  (5)	Ersetzen des negierten Betrags $-|n|$ durch die (negative) Zahl $n$

• Fall 3: $m \lt 0$ und $n \geq 0$
  

  Dieser Fall funktioniert analog zu Fall 2.

• Fall 4: $m \lt 0$ und $n \lt 0$

  Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $m \lt 0$ und $n \lt 0$ gilt $|m| = -m$ bzw. $m = -|m|$ sowie $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|m|$ und $|n|$ um die Beträge von $m$ und $n$ handelt. Das Produkt der Potenzen kann dann wie folgt zusammengefasst werden:

  \begin{align*} x^m \cdot x^n &\overset{(1)}{=} x^{-|m|} \cdot x^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{x^{|m|}} \cdot \frac{1}{x^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{x^{|m|} \cdot x^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{x^{|m| + |n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{x^{-\bigl(-|m| -|n| \bigr)}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} x^{-|m| - |n|} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} x^{m+n} \end{align*}

  Erklärungen zu den Schritten
  (1)	Ersetzen der negativen Zahl $m$ durch ihren negierten Betrag $-|m|$ Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-|n|$
  (2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (3)	Zusammenfassen zu einem Quotienten
  (4)	Anwenden von Potenzgesetz I-a für natürliche Exponenten bzw. für nichtnegative ganzzahlige Exponenten (Fall 1)
  (5)	Ausklammern des Faktors $-1$ aus dem Exponenten $|m|+|n|$
  (6)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (7)	Ersetzen des negierten Betrags $-|m|$ durch die (negative) Zahl $m$ Ersetzen des negierten Betrags $-|n|$ durch die (negative) Zahl $n$

Beweis des Potenzgesetzes für rationale Exponenten

Das Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien ganze Zahlen $m,n,r,s \in \Z$ mit $r > 0$ und $s > 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$. Für $x \gt 0$ gelten keine weiteren Einschränkungen, für $x = 0$ gelte zudem $m \geq 0$ sowie $n \geq 0$ und für $x \lt 0$ gelte zusätzlich, dass $r$ und $s$ beide ungerade sind. Dann gilt:

Beweis des Potenzgesetzes für reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $m,n \in \R$, zwei Folgen $ {(m_k)}_{k \in \N}$ und $ {(n_k)}_{k \in \N}$ rationaler Zahlen mit den Grenzwerten $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{m_k}=m$ und $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}=n$, die also gegen $m$ bzw. $n$ konvergieren, sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \gt 0$. Dann gilt:

Beweis des Potenzgesetzes (allgemein)

Der Beweis für das allgemeine Potenzgesetz für Produkte aus beliebig vielen Potenzen mit derselben Basis kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits in den vorausgehenden Abschnitten durch Nachrechnen erbrachte Beweis verwendet, dass das Rechengesetz für Produkte mit zwei Faktoren gilt. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Formel sei für Produkte mit $k$ Faktoren gültig, auch die Gültigkeit für Produkte mit $k+1$ Faktoren folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $k=2$ gültig, wie bereits in den vorherigen Abschnitten gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Das Potenzgesetz gilt für ein fest gewähltes $k \in \N$ mit $k \geq 2$.

Für das Produkt mit $k+1$ Faktoren gilt dann:

Insgesamt folgt, dass das Potenzgesetz für Produkten aus $k+1$ Potenzen gilt, falls es für Produkte aus $k$ Potenzen gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit des Potenzgesetzes für alle Produkte aus $k \geq 2$ Potenzen.