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Potenzgesetz I-a: Multiplikation von Potenzen mit derselben Basis

Bei Potenzgesetz I-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie das Produkt von Potenzen mit derselben Basis berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Das Produkt von zwei Potenzen \(a^m\) und \(a^n\) derselben Basis \(a\) kann berechnet werden, indem die gemeinsame Basis \(a\) beibehalten wird und die Exponenten $m$ und $n$ addiert werden. Es gilt:

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für beliebige natürliche Exponenten $m,n \in \N$;
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $m,n \in \Z$, falls \(a \neq 0\) gilt;
  • für beliebige reelle Exponenten $m,n \in \R$, falls $a \gt 0$ gilt;
  • für beliebige rationale Exponenten $m,n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls $a \lt 0$ gilt.

Allgemein: Das Produkt von mehreren Potenzen derselben Basis \(a\) kann analog berechnet werden, indem die gemeinsame Basis \(a\) beibehalten wird und alle Exponenten addiert werden. Es gilt:

\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^{k}{a^{n_i}} &= a^{n_1} \cdot \ldots \cdot a^{n_k} \\[0.5em] &= a^{n_1 + \ldots + n_k}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnet.

\begin{align*} a^5 \cdot a^3 &= a^{5+3} \\[0.5em] &= a^8 \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Potenzen mit einem ganzzahligen und einem rationalen Exponenten berechnet.

\begin{align*} a^{-2} \cdot a^{\frac{7}{3}} &=a^{-2 + \frac{7}{3}} \\[0.5em] &=a^{\frac{1}{3}} \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von vier Potenzen mit ganzzahligen Exponenten berechnet.

\begin{align*} a^{2} \cdot a^7 \cdot a^{-4} \cdot a &= a^{2+7-4+1} \\[0.5em] &= a^6 \end{align*}

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $a^m$ und $a^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $m$ bzw. $n$ mal den Faktor $a$ besitzen. Dann gilt:

\begin{align*} a^m \cdot a^n &\overset{(1)}{=} \underbrace{\underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ Faktoren}}}_{m+n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^{m+n} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen des Produkts aus \(m+n\) Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ganzzahlige Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

  • $\underline{\text{Fall 1:}\ m \gt 0,\ n \gt 0}$

    Dieser Fall entspricht dem Produkt zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

  • $\underline{\text{Fall 2:}\ m \gt 0,\ n \lt 0}$

    Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \gt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt \(|n|=-n\) bzw. \(n = -|n|\), wobei es sich bei \(|n|\) um den Betrag von \(n\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} a^m \cdot a^n &\overset{(1)}{=} a^m \cdot a^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^m \cdot \frac{1}{a^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{a^m}{a^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a^{m - |n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{m+n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
    (2)
    (3)
    • Zusammenfassen zu einem Quotienten
    (4)
    (5)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)

  • $\underline{\text{Fall 3:}\ m \lt 0,\ n \gt 0}$

    Dieser Fall funktioniert analog zu Fall 2.

  • $\underline{\text{Fall 4:}\ m \lt 0,\ n \lt 0}$

    Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $m \lt 0$ und $n \lt 0$ gilt \(|m|=-m\) bzw. \(m = -|m|\) sowie \(|n|=-n\) bzw. \(n = -|n|\), wobei es sich bei \(|m|\) und \(|n|\) um die Beträge von \(m\) und \(n\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} a^m \cdot a^n &\overset{(1)}{=} a^{-|m|} \cdot a^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{a^{|m|}} \cdot \frac{1}{a^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{a^{|m|} \cdot a^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{a^{|m| + |n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{a^{-(-|m| -|n|)}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{-|m| - |n|} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} a^{m+n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(m\) durch den negierten Betrag von \(m\)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
    (2)
    (3)
    • Zusammenfassen zu einem Quotienten
    (4)
    • Anwenden von Potenzgesetz I-a für natürliche Exponenten
    (5)
    • Ausklammern des Faktors \(-1\) aus dem Exponenten \(|m|+|n|\)
    (6)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
    (7)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(m\)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien ganze Zahlen \(m,n,r,s \in \Z\) sowie eine reelle Zahl \(a \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} a^{\frac{r}{m}} \cdot a^{\frac{s}{n}} &\overset{(1)}{=} \sqrt[mn]{{\left( a^{\frac{r}{m}} \right)}^{mn}} \cdot \sqrt[mn]{{\left( a^{\frac{s}{n}} \right)}^{mn}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sqrt[mn]{a^{\frac{r}{m} \cdot mn}} \cdot \sqrt[mn]{a^{\frac{s}{n} \cdot mn}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[mn]{a^{rn}} \cdot \sqrt[mn]{a^{sm}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[mn]{a^{rn} \cdot a^{sm}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[mn]{a^{rn+sm}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \sqrt[mn]{a^{(\frac{r}{m}+\frac{s}{n}) \cdot mn}} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \sqrt[mn]{{\left( a^{\frac{r}{m}+\frac{s}{n}} \right)}^{mn}} \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} a^{\frac{r}{m}+\frac{s}{n}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\)
(2)
(3)
  • Kürzen liefert \(\frac{r}{m} \cdot mn = rn\)
  • Kürzen liefert \(\frac{s}{n} \cdot mn = sm\)
(4)
(5)
  • Anwenden von Potenzgesetz I-a für ganzzahlige Exponenten
(6)
  • Ausklammern von \(mn\) im Exponenten
(7)
  • Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(8)
  • Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(x,y \in \R\), zwei Folgen \({(x_n)}_{n \in \N}\) und \({(y_n)}_{n \in \N}\) rationaler Zahlen mit \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\) und \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y\), die gegen \(x\) bzw. \(y\) konvergieren, sowie eine reelle Zahl \(a \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} a^x \cdot a^y &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \right)} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{y_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \cdot a^{y_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n + y_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( x_n + y_n \right)}}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n} + \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{x+y}. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
  • Anwenden von Potenzgesetz I-a für rationale Exponenten
(4)
(5)
  • Anwenden des Grenzwertsatzes für die Summe von Grenzwerten
(6)
  • Einsetzen von \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\) und \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y\)