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Division von Potenzen mit gleicher Basis (Potenzgesetz I-b)

Bei Potenzgesetz I-b zur Division von Potenzen mit derselben Basis handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Quotient von zwei Potenzen mit gleicher Basis zu einer Potenz zusammengefasst werden kann; oder umgekehrt, wie eine Potenz auf einen Quotienten aus zwei Potenzen aufgeteilt werden kann.

Hinweis: Quotienten von Potenzen mit verschiedenen Basen können mit Potenzgesetz II-b zusammengefasst werden, falls sie denselben Exponenten besitzen.

Definition

Für eine reelle Basis $x \in \R$ und zwei reelle Exponenten $m,n \in \R$ kann der Quotient von Potenzen mit gleicher Basis $x^m$ und $x^n$ berechnet werden, indem die beiden Exponenten $m$ und $n$ subtrahiert werden und die gemeinsame Basis $x$ anschließend mit der Differenz der Exponenten potenziert wird. Es gilt:

\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}.

In Worten: Der Quotient der Potenzen wird berechnet, indem die Basis mit der Differenz der Exponenten potenziert wird, wobei der Exponent des Nenners vom Exponenten des Zählers abgezogen wird.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die zusammengefasste Potenz kann insbesondere wieder in einen Quotienten von zwei Potenzen umgeformt werden.

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für $x \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $m$ und $n$;
für $x \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern.
für $x = 0$ und natürliche, ganze und rationale Exponenten $m$ und $n$, falls zusätzlich $m \geq 0$ und $n = 0$ gilt; letzteres ist notwendig, da ansonsten eine Division durch Null entsteht. Aufgrund der Definition $0^0=1$ ist das Ergebnis dann nur $x^m$, was formal $x^{m-0}$ entspricht, sodass das Potenzgesetz auch in diesem Fall Bestand hat.

Hinweis: Für natürliche Exponenten gilt, je nach Definition der natürlichen Zahlen, die Regel formal gesehen nur für $m \geq n$ bzw. $m \gt n$, da ansonsten die Differenz $m-n$ nicht als natürliche Zahl dargestellt werden kann. Der Übergang von natürlichen zu ganzzahligen Exponenten löst dieses Problem vollständig.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen einer Variable $a \neq 0$ mit natürlichen Exponenten berechnet.

\begin{align*} \frac{a^5}{a^3} &= a^{5-3} \\[0.5em] &= a^2 \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel berechnet den Quotienten von zwei Potenzen einer ganzen Zahl mit rationalen Exponenten.

\begin{align*} \frac{4^\frac{2}{3}}{4^\frac{1}{6}} &= 4^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}} \\[0.5em] &= 4^\frac{1}{2} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird gezeigt, wie das Potenzgesetz verwendet werden kann, um eine Potenz aufzuteilen, um anschließend weitere Vereinfachungen vornehmen zu können.

\begin{align*} \sqrt{2^3} &= \sqrt{2^{4 - 1}} \\[0.5em] &\overset{(\diamond)}{=} \sqrt{\frac{2^4}{2}} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} \frac{\sqrt{2^4}}{\sqrt{2}} \\[0.5em] &= \frac{2^2}{\sqrt{2}} \\[0.5em] &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\[0.5em] &= 2 \cdot \sqrt{2} \end{align*}

An der Stelle ($\diamond$) wird Potenzgesetz I-b verwendet, um den Term $2^3$ bzw. $2^{4-1}$ umzuschreiben, an der Stelle ($\star$) wird anschließend die Wurzel mithilfe von Wurzelgesetz I-b aufgeteilt.

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt, da diese Fälle direkt aufeinander aufbauen. Insbesondere für den Fall rationaler Exponenten werden zudem einige Wurzelgesetze benötigt; für den Fall reeller Exponenten sind zudem einige Grenzwertsätze erforderlich.

In allen Fällen erfolgt die Herleitung bzw. der Beweis des Potenzgesetzes durch direktes Nachrechnen und Zurückführen auf andere, bereits bewiesene Rechengesetze.

Beweis des Potenzgesetzes für natürliche Exponenten

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N_0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $x^m$ und $x^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $m$ bzw. $n$ mal den Faktor $x$ besitzen. Falls $m=0$ oder $n=0$ gilt, handelt es sich bei $x^m$ bzw. $x^n$ um das leere Produkt, das aus null Faktoren besteht und den Wert 1 besitzt. Für das Zusammenfassen des Quotienten der beiden Potenzen müssen die folgenden Fälle betrachtet werden.

Fall 1: $m \gt n$

Für den Fall $m \gt n$ gilt:

\begin{align*} \require{cancel} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\overbrace{\overbrace{\cancel{x \cdot \ldots \cdot x}}^{n \text{ Faktoren}} \cdot \overbrace{x \cdot \ldots \cdot x}^{m-n \text{ Faktoren}}}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\cancel{x \cdot \ldots \cdot x}}_{n \text{ Faktoren}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $x^m$ und $x^n$ mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(2)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren im Zähler und im Nenner Ersetzen des im Zähler verbleibenden Produkts aus $m-n$ Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Fall 2: $m = n$

Für den Fall $m = n$ gilt: Im Zähler und im Nenner steht derselbe Ausdruck, so dass der Quotient insgesamt den Wert 1 besitzt – dies entspricht $x^0$.

\begin{align*} \require{cancel} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{x^m}{x^m} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\overbrace{\cancel{x \cdot \ldots \cdot x}}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\cancel{x \cdot \ldots \cdot x}}_{m \text{ Faktoren}}}\\[0.5em] &\overset{(3)}{=} 1 \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} x^0 \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $x^n$ durch $x^m$; dies gilt wegen $n=m$
(2)	Ersetzen von $x^m$ mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren im Zähler und im Nenner
(4)	Einsetzen des Spezialfalls $x^0=1$ der Definition von Potenzen
(5)	Wegen $m=n$ gilt $0=m-n$

Beweis des Potenzgesetzes für ganzzahlige Exponenten

Für die Erweiterung des Potenzgesetzes auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

Fall 1: $m \geq 0$ und $n \geq 0$

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \geq 0$ und $n \geq 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $x^m$ und $x^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $m$ bzw. $n$ mal den Faktor $x$ besitzen. Falls $m=0$ oder $n=0$ gilt, handelt es sich bei $x^m$ bzw. $x^n$ um das leere Produkt, das aus null Faktoren besteht und den Wert 1 besitzt.

Fall 1a: $m \geq n$

Dieser Fall entspricht den beiden Fällen $m \gt n$ und $m = n$ für natürliche Exponenten.

Fall 1b: $m \lt n$

Dieser Fall entspricht dem Fall $m \lt n$ für natürliche Exponenten, mit dem Unterschied, dass er im Bereich der ganzen Zahlen formal gelöst werden kann. Es gilt:

\begin{align*} \require{cancel} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\overbrace{\cancel{x \cdot \ldots \cdot x}}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\underbrace{\cancel{x \cdot \ldots \cdot x}}_{m \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{x \cdot \ldots \cdot x}_{n-m \text{ Faktoren}}}_{n \text{ Faktoren}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{x^{n-m}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{x^{-\bigl( m-n \bigr)}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $x^m$ und $x^n$ mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(2)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren im Zähler und im Nenner Ersetzen des im Nenner verbleibenden Produkts aus $n-m$ Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)	Ausklammern von $-1$ im Exponenten des Nenners
(4)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Fall 2: $m \geq 0$ und $n \lt 0$

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \geq 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $n \lt 0$ gilt $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Für den Quotienten der Potenzen gilt dann:

\begin{align*} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{x^m}{x^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{x^m}{\frac{1}{x^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} x^{m} \cdot x^{|n|} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} x^{m+|n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-\|n\|$
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten zum Umschreiben des Nenners
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-a für natürliche Exponenten
(5)	Ersetzen des Betrags $\|n\|$ durch die Zahl $-n$

Fall 3: $m \lt 0$ und $n \geq 0$

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \geq 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $m \lt 0$ gilt $|m| = -m$ bzw. $m = -|m|$, wobei es sich bei $|m|$ um den Betrag von $m$ handelt. Für den Quotienten der Potenzen gilt dann:

\begin{align*} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{x^{-|m|}}{x^n} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{1}{x^{|m|}}}{x^n} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{x^{|m|} \cdot x^n} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{x^{|m|+n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{-|m|-n} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl $m$ durch ihren negierten Betrag $-\|m\|$
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten zum Umschreiben des Zählers
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-a für natürliche Exponenten
(5)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten zum Umschreiben des gesamten Terms Es gilt $\|m\|+n \gt 0$ und folglich $-\|m\|-n \lt 0$
(6)	Ersetzen des negierten Betrags $-\|m\|$ durch die Zahl $m$

Fall 4: $m \lt 0$ und $n \lt 0$

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $m \lt 0$ und $n \lt 0$ gilt $|m| = -m$ bzw. $m = -|m|$ sowie $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|m|$ und $|n|$ um die Beträge von $m$ und $n$ handelt. Der Quotient der Potenzen kann dann wie folgt zusammengefasst werden:

\begin{align*} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{x^{-|m|}}{x^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{1}{x^{|m|}}}{\frac{1}{x^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{x^{|n|}}{x^{|m|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} x^{|n|-|m|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} x^{-n+m} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl $m$ durch ihren negierten Betrag $-\|m\|$ Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-\|n\|$
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für nichtnegative ganzzahlige Exponenten (Fall 1)
(5)	Ersetzen des Betrags $\|m\|$ durch die Zahl $-m$ Ersetzen des Betrags $\|n\|$ durch die Zahl $-n$
(6)	Umstellen des Exponenten

Beweis des Potenzgesetzes für rationale Exponenten

Das Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleicher Basis kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien ganze Zahlen $m,n,r,s \in \Z$ mit $r > 0$ und $s > 0$ sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \neq 0$. Für $x \gt 0$ gelten keine weiteren Einschränkungen und für $x \lt 0$ gelte zusätzlich, dass $r$ und $s$ beide ungerade sind. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{x^{\frac{m}{r}}}{x^{\frac{n}{s}}} &\overset{(1)}{=} \frac{\sqrt[rs]{{\bigl( x^{\frac{m}{r}} \bigr)}^{rs}}}{\sqrt[rs]{{\bigl( x^{\frac{n}{s}} \bigr)}^{rs}}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \frac{\sqrt[rs]{x^{\frac{m}{r} \cdot rs}}}{\sqrt[rs]{x^{\frac{n}{s} \cdot rs}}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \frac{\sqrt[rs]{x^{ms}}}{\sqrt[rs]{x^{nr}}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[rs]{\frac{x^{ms}}{x^{nr}}} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[rs]{x^{ms-nr}} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \sqrt[rs]{x^{\bigl( \frac{m}{r}-\frac{n}{s} \bigr) \cdot rs}} \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \sqrt[rs]{{\bigl( x^{\frac{m}{r}-\frac{n}{s}} \bigr)}^{rs}} \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} x^{\frac{m}{r}-\frac{n}{s}} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Umschreiben von Dividend und Divisor mithilfe der Definition der Wurzel Es gilt $\unicode{x2B1A} = \sqrt[rs]{\unicode{x2B1A}^{rs}}$
(2)	Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(3)	Kürzen liefert $\frac{m}{r} \cdot rs = ms$ Kürzen liefert $\frac{n}{s} \cdot rs = nr$
(4)	Anwenden von Wurzelgesetz I-b
(5)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für ganzzahlige Exponenten
(6)	Ausklammern von $rs$ im Exponenten
(7)	Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(8)	Ausrechnen von $\sqrt[rs]{\unicode{x2B1A}^{rs}}$ mithilfe der Definition der Wurzel

Beweis des Potenzgesetzes für reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $m,n \in \R$, zwei Folgen $ {(m_k)}_{k \in \N}$ und $ {(n_k)}_{k \in \N}$ rationaler Zahlen mit den Grenzwerten $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{m_k}=m$ und $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}=n$, die also gegen $m$ bzw. $n$ konvergieren, sowie eine reelle Zahl $x \in \R$ mit $x \gt 0$. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{x^m}{x^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\bigl( x^{m_k} \bigr)}}{\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\bigl( x^{n_k} \bigr)}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\left( \frac{x^{m_k}}{x^{n_k}} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\bigl( x^{m_k - n_k} \bigr)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {x^{\, \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{\bigl( m_k - n_k \bigr)}}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {x^{\, \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{m_k} - \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} x^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Potenzen $x^m$ und $x^n$ mithilfe der Definition von Potenzen mit reellen Exponenten
(2)	Anwenden des Grenzwertsatzes für den Quotienten von Grenzwerten
(3)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für rationale Exponenten
(4)	Hineinziehen des Limes in die Potenz aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion
(5)	Anwenden des Grenzwertsatzes für die Differenz von Grenzwerten
(6)	Einsetzen von $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{m_k}=m$ und $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}=n$