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Potenzgesetz I-b: Division von Potenzen mit derselben Basis

Bei Potenzgesetz I-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Quotient von Potenzen mit derselben Basis berechnet werden kann.

Inhalt

Definition
Beispiele
Beweis

Definition

Der Quotient von zwei Potenzen $a^m$ und $a^n$ derselben Basis $a$ kann berechnet werden, indem die gemeinsame Basis $a$ beibehalten wird und die Exponenten $m$ und $n$ subtrahiert werden. Es gilt:

\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}.

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für beliebige natürliche Exponenten $m,n \in \N$;
für beliebige ganzzahlige Exponenten $m,n \in \Z$, falls $a \neq 0$ gilt;
für beliebige reelle Exponenten $m, n \in \R$, falls $a \gt 0$ gilt;
für beliebige rationale Exponenten $m, n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls $a \lt 0$ gilt.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnet.

\begin{align*} \frac{a^5}{a^3} &= a^{5-3} \\[0.5em] &= a^2 \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit rationalen Exponenten berechnet.

\begin{align*} \frac{a^\frac{2}{3}}{a^\frac{1}{6}} &= a^{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}} \\[0.5em] &= a^\frac{1}{2} \end{align*}

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Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $a^m$ und $a^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $m$ bzw. $n$ mal den Faktor $a$ besitzen. Für den Nachweis des Potenzgesetzes müssen die folgenden Fälle betrachtet werden:

$\underline{\text{Fall 1:}\ m \gt n}$

Für den Fall $m \gt n$ gilt:

\begin{align*} \require{cancel} \frac{a^m}{a^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\overbrace{\overbrace{\cancel{a \cdot \ldots \cdot a}}^{n \text{ Faktoren}} \cdot \overbrace{a \cdot \ldots \cdot a}^{m-n \text{ Faktoren}}}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\cancel{a \cdot \ldots \cdot a}}_{n \text{ Faktoren}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $a^n$ und $a^m$ mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(2)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner Ersetzen des Produkts aus $m-n$ Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

$\underline{\text{Fall 2:}\ m \lt n}$

Für den Fall $m \lt n$ gilt:

\[\require{cancel}\] \begin{align*} \frac{a^m}{a^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\overbrace{\cancel{a \cdot \ldots \cdot a}}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\underbrace{\cancel{a \cdot \ldots \cdot a}}_{m \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{a \cdot \ldots \cdot a}_{n-m \text{ Faktoren}}}_{n \text{ Faktoren}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{a^{n-m}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{a^{-(m-n)}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $a^n$ und $a^m$ mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(2)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner Ersetzen des Produkts aus $n-m$ Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)	Ausklammern von $-1$ im Exponenten des Nenners
(4)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

$\underline{\text{Fall 3:}\ m = n}$

Für den Fall $m = n$ gilt: Im Zähler und im Nenner steht derselbe Ausdruck, so dass der Quotient insgesamt den Wert 1 besitzt – dies entspricht $a^0$.

\[\require{cancel}\] \begin{align*} \frac{a^m}{a^n} &\overset{(1)}{=} \frac{a^m}{a^m} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\overbrace{\cancel{a \cdot \ldots \cdot a}}^{m \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\cancel{a \cdot \ldots \cdot a}}_{m \text{ Faktoren}}}\\[0.5em] &\overset{(3)}{=} 1 \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a^0 \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $a^n$ durch $a^m$; dies gilt wegen $n=m$
(2)	Ersetzen von $a^n$ und $a^m$ mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner
(4)	Anwenden des Spezialfalls $a^0=1$ der Definition von Potenzen
(5)	Wegen $m=n$ gilt $0=m-n$

Ganze Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

$\underline{\text{Fall 1:}\ m \gt 0,\ n \gt 0}$

Dieser Fall entspricht dem Quotienten zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

$\underline{\text{Fall 2:}\ m \gt 0,\ n \lt 0}$

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \gt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt $|n|=-n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^m}{a^n} &\overset{(1)}{=} \frac{a^m}{a^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{a^m}{\frac{1}{a^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^{m} \cdot a^{|n|} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a^{m+|n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch den negierten Betrag von $n$
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-a für natürliche Exponenten
(5)	Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl $n$

$\underline{\text{Fall 3:}\ m \lt 0,\ n \gt 0}$

Dieser Fall funktioniert analog zu Fall 2.

$\underline{\text{Fall 4:}\ m \lt 0,\ n \lt 0}$

Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $m \lt 0$ und $n \lt 0$ gilt $|m|=-m$ bzw. $m = -|m|$ sowie $|n|=-n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|m|$ und $|n|$ um die Beträge von $m$ und $n$ handelt. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^m}{a^n} &\overset{(1)}{=} \frac{a^{-|m|}}{a^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{1}{a^{|m|}}}{\frac{1}{a^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{a^{|n|}}{a^{|m|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a^{|n|-|m|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{-n+m} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{m-n} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl $m$ durch den negierten Betrag von $m$ Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch den negierten Betrag von $n$
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für natürliche Exponenten
(5)	Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl $m$ Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl $n$
(6)	Umstellen des Exponenten

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien ganze Zahlen $m,n,r,s \in \Z$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^{\frac{r}{m}}}{a^{\frac{s}{n}}} &\overset{(1)}{=} \frac{\sqrt[mn]{{\left( a^{\frac{r}{m}} \right)}^{mn}}}{\sqrt[mn]{{\left( a^{\frac{s}{n}} \right)}^{mn}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\sqrt[mn]{a^{\frac{r}{m} \cdot mn}}}{\sqrt[mn]{a^{\frac{s}{n} \cdot mn}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{\sqrt[mn]{a^{rn}}}{\sqrt[mn]{a^{sm}}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[mn]{\frac{a^{rn}}{a^{sm}}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[mn]{a^{rn-sm}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \sqrt[mn]{a^{(\frac{r}{m}-\frac{s}{n}) \cdot mn}} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} \sqrt[mn]{{\left( a^{\frac{r}{m}-\frac{s}{n}} \right)}^{mn}} \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} a^{\frac{r}{m}-\frac{s}{n}} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt $\sqrt[n]{a^n} = a$
(2)	Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(3)	Kürzen liefert $\frac{r}{m} \cdot mn = rn$ Kürzen liefert $\frac{s}{n} \cdot mn = sm$
(4)	Anwenden von Wurzelgesetz I-b
(5)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für ganzzahlige Exponenten
(6)	Ausklammern von $mn$ im Exponenten
(7)	Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(8)	Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$, zwei Folgen ${(x_n)}_{n \in \N}$ und ${(y_n)}_{n \in \N}$ rationaler Zahlen mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x$ und $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y$, die gegen $x$ bzw. $y$ konvergieren, sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^x}{a^y} &\overset{(1)}{=} \frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \right)}}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{y_n} \right)}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \frac{a^{x_n}}{a^{y_n}} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n - y_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( x_n - y_n \right)}}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n} - \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{x-y} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Potenzen $a^x$ und $a^y$ mithilfe der Definition von Potenzen mit reellen Exponenten
(2)	Anwenden des Grenzwertsatzes für den Quotienten von Grenzwerten
(3)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für rationale Exponenten
(4)	Hineinziehen des Limes in die Potenz aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion
(5)	Anwenden des Grenzwertsatzes für die Differenz von Grenzwerten
(6)	Einsetzen von $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x$ und $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y$

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von \(a^n\) und \(a^m\) mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(2)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner Ersetzen des Produkts aus \(m-n\) Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von \(a^n\) und \(a^m\) mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(2)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner Ersetzen des Produkts aus \(n-m\) Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)	Ausklammern von \(-1\) im Exponenten des Nenners
(4)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von \(a^n\) durch \(a^m\); dies gilt wegen \(n=m\)
(2)	Ersetzen von \(a^n\) und \(a^m\) mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)	Kürzen der gemeinsamen Faktoren in Zähler und Nenner
(4)	Anwenden des Spezialfalls \(a^0=1\) der Definition von Potenzen
(5)	Wegen \(m=n\) gilt \(0=m-n\)

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-a für natürliche Exponenten
(5)	Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der negativen Zahl \(m\) durch den negierten Betrag von \(m\) Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
(2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(3)	Auflösen des Doppelbruchs
(4)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für natürliche Exponenten
(5)	Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(m\) Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)
(6)	Umstellen des Exponenten

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt \(\sqrt[n]{a^n} = a\)
(2)	Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(3)	Kürzen liefert \(\frac{r}{m} \cdot mn = rn\) Kürzen liefert \(\frac{s}{n} \cdot mn = sm\)
(4)	Anwenden von Wurzelgesetz I-b
(5)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für ganzzahlige Exponenten
(6)	Ausklammern von \(mn\) im Exponenten
(7)	Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(8)	Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen der Potenzen \(a^x\) und \(a^y\) mithilfe der Definition von Potenzen mit reellen Exponenten
(2)	Anwenden des Grenzwertsatzes für den Quotienten von Grenzwerten
(3)	Anwenden von Potenzgesetz I-b für rationale Exponenten
(4)	Hineinziehen des Limes in die Potenz aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion
(5)	Anwenden des Grenzwertsatzes für die Differenz von Grenzwerten
(6)	Einsetzen von \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\) und \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y\)