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Reziprokenregel

Die Reziprokenregel (auch Kehrwertregel genannt) ist eine der grundlegenden Regeln der Differentialrechnung. Sie besagt, dass das Reziproke (der Kehrwert) einer differenzierbaren Funktion selbst differenzierbar ist. Die Reziprokenregel beschreibt darüber hinaus, wie die Ableitung des Kehrwerts einer Funktion auf die Ableitung der Funktion zurückgeführt werden kann.

Definition

Gegeben seien ein Intervall $\mathcal{D}$ der reellen oder der komplexen Zahlen sowie eine auf diesem Intervall definierte Funktion $v$. Die Reziprokenregel (auch Kehrwertregel genannt) besagt, dass das Reziproke (bzw. der Kehrwert)

f(x) = \frac{1}{v(x)}

der Funktion $v$ an der Stelle $x_0 \in \mathcal{D}$ differenzierbar ist, falls die Funktion $v$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar ist und falls darüber hinaus $v(x_0) \neq 0$ gilt. Die Ableitung des Reziproken (bzw. die Ableitung des Kehrwerts) an der Stelle $x_0$ kann in diesem Fall auf die Ableitung der Funktion $v$ zurückgeführt werden; es gilt:

\begin{align*} f'(x_0) &= {\left[ \frac{1}{v(x_0)} \right]}' \\[0.5em] &= -\frac{v'(x_0)}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \end{align*}

Oder kurz:

\begin{align*} f' &= {\left[ \frac{1}{v} \right]}' \\[0.5em] &= -\frac{v'}{v^2} \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Das erste Beispiel demonstriert die Reziprokenregel für den Kehrwert der Funktion

f(x) = \frac{1}{e^x},

bei der es sich um das Reziproke der Exponentialfunktion $e^x$ handelt. Da die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, kann die Ableitung der Funktion $f$ mithilfe der Reziprokenregel auf die Ableitung der Funktion $e^x$ zurückgeführt werden. Hierbei wird die Ableitungsregel der Exponentialfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} f'(x) &= {\left[ \frac{1}{e^x} \right]}' \\[0.5em] &= -\frac{{\bigl[ e^x \bigr]}'}{{\bigl( e^x \bigr)}^2} \\[0.5em] &= -\frac{e^x}{e^{2x}} \\[0.5em] &= -\frac{1}{e^x} \end{align*}

Beispiel 2

Das zweite Beispiel verwendet die Kehrwertregel zum Ableiten der Funktion

g(x) = \frac{1}{x^3},

bei der es sich um den Kehrwert der Potenzfunktion $x^3$ handelt. Da die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich differenzierbar ist, kann die Ableitung der Funktion $g$ mithilfe der Kehrwertregel auf die Ableitung der Funktion $x^3$ zurückgeführt werden. Hierbei wird die Ableitungsregel der Potenzfunktion benötigt. Es gilt:

\begin{align*} g'(x) &= {\left[ \frac{1}{x^3} \right]}' \\[0.5em] &= -\frac{{\bigl[ x^3 \bigr]}'}{{\bigl( x^3 \bigr)}^2} \\[0.5em] &= -\frac{3x^2}{x^6} \\[0.5em] &= -\frac{3}{x^4} \end{align*}

Beweis der Reziprokenregel

Die Herleitung bzw. der Beweis der Reziprokenregel (bzw. Beweis der Kehrwertregel) erfolgt mithilfe der Definition der Differenzierbarkeit über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Gegeben sei die an der Stelle $x_0$ differenzierbare Funktion $v$. Bei der Ableitung $v'(x_0)$ handelt es sich nach der Definition der Differenzierbarkeit dann um den folgenden Grenzwert:

v'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}\left( \frac{v(x_0+h) - v(x_0)}{h} \right)

Die Ableitung des Kehrwerts

f(x) = \frac{1}{v(x)}

kann wie folgt über den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmt werden:

\begin{align*} f'(x_0) &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{1}{v(x_0+h)} - \frac{1}{v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{\frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)}}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{h \cdot v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \\[0.75em] &\overset{(5)}{=} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)} \right)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0) - v(x_0+h)}{h} \right)} \\[0.75em] &\overset{(6)}{=} \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)} \right)}}_{=\frac{1}{v(x_0)}} \cdot \frac{1}{v(x_0)} \cdot \left( - \underbrace{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h)-v(x_0)}{h} \right)}}_{=v'(x_0)} \right) \\[0.75em] &\overset{(7)}{=} \frac{1}{v(x_0)} \cdot \frac{1}{v(x_0)} \cdot \bigl( -v'(x_0) \bigr) \\[0.75em] &\overset{(8)}{=} - \frac{v'(x_0)}{{\bigl( v(x_0) \bigr)}^2} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Definition der Ableitung von $f$ als Grenzwert des Differenzenquotienten
(2)	Ersetzen der Funktion $f(x)$ durch $\frac{1}{v(x)}$
(3)	Gleichnamig machen und Zusammenfassen der Differenz im Zähler Erweitern des ersten Bruchs mit $v(x_0)$ Erweitern des zweiten Bruchs mit $v(x_0+h)$
(4)	Auflösen bzw. Vereinfachen des Doppelbruchs
(5)	Herausziehen des Faktors $\frac{1}{v(x_0+h) \cdot v(x_0)}$ aus dem Grenzwert mithilfe der Rechenregel für Produkte von Grenzwerten
(6)	Herausziehen des konstanten Faktors $\frac{1}{v(x_0)}$ aus dem vorderen Grenzwert Herausziehen des Faktors $-1$ aus dem hinteren Grenzwert mithilfe des Distributivgesetzes sowie Vertauschen der Reihenfolge der Summanden im Zähler mithilfe des Kommutativgesetzes
(7)	Ausrechnen von $\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)}\right)}$ mithilfe der Stetigkeit der Funktion $v$ $\begin{align} \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{1}{v(x_0+h)}\right)} &= \frac{1}{\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\bigl( v(x_0+h) \bigr)}} \\[0.5em] &= \frac{1}{v(x_0)} \end{align}$ Ersetzen des hinteren Grenzwerts durch die Ableitung $v'(x_0)$ gemäß der initialen Definition
(8)	Zusammenfassen