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Exponentialfunktion (Ableitungsregel)

Die Ableitungsregel der Exponentialfunktion (abgekürzt: exp) kann mithilfe des Logarithmus und impliziter Differentiation hergeleitet werden. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.

Ableitungsregel

Die Ableitung der Exponentialfunktion (abgekürzt: exp) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ e^x \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ e^x \Bigr] \\[0.75em] &= e^x \end{align*}

Die Ableitung der Exponentialfunktion mit beliebiger Basis $a \in \R$ mit $a \gt 0$ und $a \neq 1$ ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ wie folgt definiert:

\begin{align*} {\Bigl[ a^x \Bigr]}' &= \frac{d}{dx} \Bigl[ a^x \Bigr] \\[0.75em] &= a^x \cdot \ln(a) \end{align*}

Herleitung der Ableitungsregel für die Basis e

Die Herleitung der Ableitungsregel der Exponentialfunktion für die Basis $e$ erfolgt in mehreren Schritten. Zunächst wird die Gleichung $y = e^x$ logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt. Anschließendes Ableiten mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion sowie der Kettenregel liefert die gesuchte Ableitungsregel. Es gilt:

\begin{align*} y &= e^x \\[1.5em] \Rightarrow \ln(y) &\overset{(1)}{=} \ln\left( e^x \right) \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \ln(e) \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} x \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &\overset{(4)}{=} \frac{d}{dx} \Bigl[ x \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &\overset{(5)}{=} 1 \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &\overset{(6)}{=} y \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ e^x \Bigr] &\overset{(7)}{=} e^x \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Logarithmieren der Gleichung
(2)	Anwenden von Logarithmusgesetz II
(3)	Ausrechnen von $\ln(e) = 1$
(4)	Implizite Differentiation Ableiten der Gleichung nach der Variable $x$
(5)	Anwenden der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion Anwenden der Kettenregel
(6)	Umstellen nach $\frac{d}{dx} \bigl[ y \bigr]$
(7)	Ersetzen von $y$ durch $e^x$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $y = e^x$

Herleitung der Ableitungsregel für eine beliebige Basis a

Die Herleitung der Ableitungsregel der Exponentialfunktion für eine beliebige Basis $a$ erfolgt in mehreren Schritten – analog zur Basis $e$. Zunächst wird die Gleichung $y = a^x$ logarithmiert und mithilfe der Logarithmusgesetze umgestellt. Anschließendes Ableiten mittels impliziter Differentiation unter Zuhilfenahme der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion sowie der Kettenregel liefert die gesuchte Ableitungsregel. Es gilt:

\begin{align*} y &= a^x \\[1.5em] \Rightarrow \ln(y) &\overset{(1)}{=} \ln\left( a^x \right) \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} x \cdot \ln(a) \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ \ln(y) \Bigr] &\overset{(3)}{=} \frac{d}{dx} \Bigl[ x \cdot \ln(a) \Bigr] \\[0.75em] \frac{1}{y} \cdot \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &\overset{(4)}{=} \ln(a) \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ y \Bigr] &\overset{(5)}{=} y \cdot \ln(a) \\[1.5em] \Rightarrow \frac{d}{dx} \Bigl[ a^x \Bigr] &\overset{(6)}{=} a^x \cdot \ln(a) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Logarithmieren der Gleichung
(2)	Anwenden von Logarithmusgesetz II
(3)	Implizite Differentiation Ableiten der Gleichung nach der Variable $x$
(4)	Anwenden der Ableitungsregel der Logarithmusfunktion Anwenden der Kettenregel
(5)	Umstellen nach $\frac{d}{dx} \bigl[ y \bigr]$
(6)	Ersetzen von $y$ durch $a^x$ gemäß der laut Definition geltenden Gleichheit $y = a^x$

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Exponentialfunktion bestimmt werden soll:

f(x) = e^{7x}

Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} f'(x) &= {\Bigl[ e^{7x} \Bigr]}' \\[0.75em] &= e^{7x} \cdot {\Bigl[ 7x \Bigr]}' \\[0.75em] &= e^{7x} \cdot 7 \\[0.75em] &= 7 \cdot e^{7x} \end{align*}

Beispiel 2

Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Exponentialfunktion bestimmt werden soll:

g(x) = 2^{x^5}

Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich:

\begin{align*} g'(x) &= {\Bigl[ 2^{x^5} \Bigr]}' \\[0.75em] &= 2^{x^5} \cdot \ln(2) \cdot {\Bigl[ x^5 \Bigr]}' \\[0.75em] &= 2^{x^5} \cdot \ln(2) \cdot 5x^4 \\[0.75em] &= 5 \cdot \ln(2) \cdot 2^{x^5} \cdot x^4 \end{align*}