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Wurzelgesetz III: Radizieren von Wurzeln

Bei Wurzelgesetz III handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie die Wurzel einer Wurzel berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Die Wurzel einer Wurzel kann berechnet werden, indem die Wurzelexponenten \(m\) und \(n\) multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird. Es gilt:

\[ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}\ \ . \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

Beispiele

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Wurzel einer Wurzel berechnet.

\begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[2 \cdot 3]{a} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{a} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch die Wurzel einer Wurzel einer ganzen Zahl berechnet.

\begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{64}} &= \sqrt[2 \cdot 3]{64} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{64} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl \(a \in \R\) mit \(a \geq 0\) sowie zwei natürliche Zahlen \(n,m \in \N\). Zunächst wird der Term \(\displaystyle{\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \right)}^{m \cdot n}\) betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \right)}^{m \cdot n} &\overset{(1)}{=} {\left( {\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} \right)}^m \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a \\[0.75em] \Rightarrow\ \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot n]{a} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
(3)
  • Ausrechnen von \({\left( \sqrt[n]{\phantom{a}} \right)}^n\) mithilfe der Definition der Wurzel
(4)
  • Ziehen der \(mn\)-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung