Nachlesen

Wurzel einer Wurzel (Wurzelgesetz III)

Bei Wurzelgesetz III zur Wurzel einer Wurzel (auch Verschachteln von Wurzeln, Verschachtelungsregel für Wurzeln oder Iterationsregel für Wurzeln genannt) handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie verschachtelte Wurzeln, also Wurzeln von Wurzeln, zu einer Wurzel zusammengefasst werden können.

Hinweis: Die Verschachtelungsregel für Wurzeln entspricht im Wesentlichen Potenzgesetz III.

Definition

Wurzel einer Wurzel

Für eine reelle Zahl $x \in \R$ und zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ kann die Wurzel einer Wurzel berechnet werden, indem die Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird. Es gilt:

\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}.

In Worten: Die Wurzel einer Wurzel entspricht der Wurzel mit multiplizierten Wurzelexponenten.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die zusammengefasste Wurzel kann also auch zu einer verschachtelten Wurzel umgeformt werden.

Die Verschachtelungsregel für Wurzeln kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für nichtnegative reelle Radikanden $x \in \R$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $m,n \in \N$;
für beliebige reelle Radikanden $x \in \R$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $m,n \in \N$.

Mehrfach verschachtelte Wurzeln

Allgemein gilt: Für mehrfach verschachtelte Wurzeln kann die Wurzel berechnet werden, indem alle Wurzelexponenten multipliziert werden und der Radikand beibehalten wird. Es gilt:

\sqrt[n_k]{\cdots \sqrt[n_1]{x}} = \sqrt[n_k \cdot \ldots \cdot n_1]{x}

Die Verschachtelungsregel für mehrere Wurzeln kann in den folgenden Fällen angewendet werden (für $k \in \N$ und $k \geq 2$):

für nichtnegative reelle Radikanden $x \in \R$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $n_1,\ldots,n_k \in \N$;
für beliebige reelle Radikanden $x \in \R$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $n_1,\ldots,n_k \in \N$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Quadratwurzel einer Kubikwurzel der Variable $a \geq 0$ berechnet.

\begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[2 \cdot 3]{a} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{a} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch die Wurzel einer Wurzel einer ganzen Zahl berechnet.

\begin{align*} \sqrt[3]{\sqrt{64}} &= \sqrt[3 \cdot 2]{64} \\[0.5em] &= \sqrt[6]{64} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beispiel 3

Das dritte Beispiel zeigt die Berechnung einer mehrfach verschachtelten Wurzel für eine Variable $a \geq 0$.

\begin{align*} \sqrt{\sqrt[3]{\sqrt[4]{a^{48}}}} &= \sqrt[2 \cdot 3 \cdot 4]{a^{48}} \\[0.5em] &= \sqrt[24]{a^{48}} \\[0.5em] &= a^2 \end{align*}

Beweis

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für verschachtelte Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$ sowie zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzeln definiert sind – dass also entweder $x \geq 0$ gilt oder dass $m$ und $n$ ungerade sind.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend von der Wurzel einer Wurzel hergeleitet. Zunächst wird hierzu der Term $ {\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} \right)}^{m \cdot n}$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} \right)}^{m \cdot n} &\overset{(1)}{=} {\left( {\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} \right)}^m \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} x \\[1.5em] \implies \sqrt[m \cdot n]{{\left( \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} \right)}^{m \cdot n}} &\overset{(4)}{=} \sqrt[m \cdot n]{x} \\[0.5em] \implies \sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} &\overset{(5)}{=} \sqrt[m \cdot n]{x} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche Exponenten
(2)	Ausrechnen von $ {\bigl( \sqrt[m]{\unicode{x2B1A}} \bigr)}^m$ mithilfe der Definition der Wurzel
(3)	Ausrechnen von $ {\bigl( \sqrt[n]{\unicode{x2B1A}} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(4)	Ziehen der $m \cdot n\,$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung
(5)	Ausrechnen von $\sqrt[m \cdot n]{\unicode{x2B1A}^{m \cdot n}}$ mithilfe von Wurzelgesetz IV und der Definition der Wurzel

Beweis des Wurzelgesetzes (allgemein)

Der Beweis der Verschachtelungsregel für Wurzeln für beliebig viele Verschachtelungen kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits im vorausgehenden Abschnitt durch Nachrechnen erbrachte Beweis verwendet, dass das Rechengesetz für zwei verschachtelte Wurzeln gilt. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Formel sei für $k$ Wurzeln gültig, auch die Gültigkeit für $k+1$ Wurzeln folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $k=2$ gültig, wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Das Wurzelgesetz gilt für ein fest gewähltes $k \in \N$ mit $k \geq 2$.

Für $k+1$ verschachtelte Wurzeln gilt dann:

\begin{align*} \sqrt[n_{k+1}]{\cdots \sqrt[n_1]{x}} &\overset{(1)}{=} \sqrt[n_{k+1}]{\sqrt[n_k]{\cdots \sqrt[n_1]{x}}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \sqrt[n_{k+1}]{\sqrt[n_k \cdot \ldots \cdot n_1]{x}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[n_{k+1} \cdot \ldots \cdot n_1]{x} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Zurückführen der $k+1$ verschachtelten Wurzeln auf zwei verschachtelte Wurzeln
(2)	Ausrechnen der inneren Wurzel $\sqrt[n_k \cdot \ldots \cdot n_1]{x}$ mithilfe der Verschachtelungsregel für Wurzeln, die gemäß Induktionsannahme für $k$ Wurzeln gilt
(3)	Anwenden des Wurzelgesetzes für den Fall mit zwei Faktoren

Insgesamt folgt, dass die Verschachtelungsregel für $k+1$ Wurzeln gilt, falls sie für $k$ Wurzeln gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit der Verschachtelungsregel für Wurzeln für $k \geq 2$ Wurzeln.