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Potenzgesetz III: Potenzen von Potenzen

Bei Potenzgesetz III handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie die Potenz einer Potenz berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Die Potenz einer Potenz kann berechnet werden, indem die Basis beibehalten wird und die Exponenten multipliziert werden. Es gilt:

\[ {\bigl( a^m \bigr)}^n = a^{m \cdot n}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für beliebige natürliche Exponenten $m,n \in \N$;
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n,m \in \Z$, falls $a \neq 0$ gilt;
  • für beliebige reelle Exponenten $n,m \in \R$, falls $a \gt 0$ gilt;
  • für beliebige rationale Exponenten $m, n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls $a \lt 0$ gilt.

Allgemein: Die Potenz einer Potenz kann auf mehr als zwei Exponenten übertragen werden, indem die Basis beibehalten wird und alle Exponenten miteinander multipliziert werden. Es gilt:

\[ {\left( {\left( {a}^{n_1} \right)}^{ \cdot^{\cdot^{\cdot}} } \right)}^{n_k} = a^{n_1 \cdot \ldots \cdot n_k}. \]

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Potenz einer Potenz mit natürlichen Exponenten berechnet.

\begin{align*} {\left( a^5 \right)}^3 &= a^{5 \cdot 3} \\[0.5em] &= a^{15} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch eine mehrfache Potenz mit rationalen Exponenten berechnet.

\begin{align*} {\left( {\left( a^{\frac{1}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}} \right)}^2 &= a^{\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot 2} \\[0.5em] &= a \end{align*}

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien zwei natürliche Zahlen $m,n \in \N$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei der Potenz \({(a^m)}^n\) lediglich um eine Kurzschreibweise für das Produkt, das $n$ mal den Faktor $a^m$ besitzt, der wiederum jeweils $m$ mal den Faktor $a$ besitzt. Dann gilt:

\begin{align*} {\bigl( a^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} \underbrace{a^m \cdot \ldots \cdot a^m}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \underbrace{\underbrace{\bigl( a \cdot \ldots \cdot a \bigr)}_{m \text{ Faktoren}} \cdot \ldots \cdot \underbrace{\bigl(a \cdot \ldots \cdot a \bigr)}_{m \text{ Faktoren}}}_{m \cdot n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^{m \cdot n} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen von \(a^m\) mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten
(3)
  • Ersetzen des Produkts aus \(m \cdot n\) Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ganze Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

  • $\underline{\text{Fall 1:}\ m \gt 0,\ n \gt 0}$

    Dieser Fall entspricht dem Produkt zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

  • $\underline{\text{Fall 2:}\ m \gt 0,\ n \lt 0}$

    Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \gt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt \(|n|=-n\) bzw. \(n = -|n|\), wobei es sich bei \(|n|\) um den Betrag von \(n\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} {\bigl( a^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} {\bigl( a^m \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{{\bigl( a^m \bigr)}^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{a^{m \cdot |n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{a^{-m \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{m \cdot n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
    (2)
    (3)
    • Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche Exponenten
    (4)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)
    (5)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

  • $\underline{\text{Fall 3:}\ m \lt 0,\ n \gt 0}$

    Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \gt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $m \lt 0$ gilt \(|m|=-m\) bzw. \(m = -|m|\), wobei es sich bei \(|m|\) um den Betrag von \(m\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} {\bigl( a^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} {\bigl( a^{-|m|} \bigr)}^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( \frac{1}{a^{|m|}} \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1^n}{{\bigl( a^{|m|} \bigr)}^n} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{a^{|m| \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \frac{1}{a^{-m \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{m \cdot n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(m\) durch den negierten Betrag von \(m\)
    (2)
    (3)
    (4)
    • Ausrechnen von \(1^n = 1\)
    • Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche Exponenten
    (5)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)
    (6)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

  • $\underline{\text{Fall 4:}\ m \lt 0,\ n \lt 0}$

    Gegeben seien zwei ganze Zahlen $m,n \in \Z$ mit $m \lt 0$ und $n \lt 0$ sowie eine reelle Zahl $a \in \R$. Wegen $m \lt 0$ und $n \lt 0$ gilt \(|m|=-m\) bzw. \(m = -|m|\) sowie \(|n|=-n\) bzw. \(n = -|n|\), wobei es sich bei \(|m|\) und \(|n|\) um die Beträge von \(m\) und \(n\) handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} {\bigl( a^m \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} {\bigl( a^{-|m|} \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{{\left( \frac{1}{a^{|m|}} \right)}^{|n|} } \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{\frac{1^{|n|}}{{\left( a^{|m|} \right)}^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{{\left( a^{|m|} \right)}^{|n|}}{1^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{|m| \cdot |n|} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{(-m) \cdot (-n)} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} a^{m \cdot n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(m\) durch den negierten Betrag von \(m\)
    • Ersetzen der negativen Zahl \(n\) durch den negierten Betrag von \(n\)
    (2)
    (3)
    (4)
    • Auflösen des Doppelbruchs
    (5)
    • Anwenden von Potenzgesetz III für natürliche Exponenten
    • Ausrechnen von \(1^{|n|} = 1\)
    (6)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(m\)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl \(n\)
    (7)
    • Ausrechnen des Exponenten

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien ganze Zahlen \(m,n,r,s \in \Z\) sowie eine reelle Zahl \(a \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} {\left( a^{\frac{r}{m}} \right)}^{\frac{s}{n}} &\overset{(1)}{=} \sqrt[n]{{\left( a^{\frac{r}{m}} \right)}^s} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sqrt[n]{{\Bigl( \sqrt[m]{a^r} \Bigr)}^s} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[n]{\sqrt[m]{{\left( a^r \right)}^s}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{\sqrt[m]{a^{r \cdot s}}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[n \cdot m]{ a^{r \cdot s}} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} a^{\frac{r}{m} \cdot \frac{s}{n}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Umschreiben der (inneren) Potenz als Wurzel gemäß Definition von Potenzen mit rationalen Exponenten; es gilt \(\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}\)
(3)
(4)
  • Anwenden von Potenzgesetz III für ganzzahlige Exponenten
(5)
(6)
  • Umschreiben der Wurzel als Potenz; es gilt \(\sqrt[n]{a^m} = a^\frac{m}{n}\)
  • Aufteilen des Exponenten auf zwei Faktoren

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(x,y \in \R\), zwei Folgen \({(x_n)}_{n \in \N}\) und \({(y_n)}_{n \in \N}\) rationaler Zahlen mit \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\) und \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y\), die gegen \(x\) bzw. \(y\) konvergieren, sowie eine reelle Zahl \(a \in \R\). Dann gilt:

\begin{align*} {\left( a^x \right)}^y &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{\left( a^{x_n} \right)}^{y_n}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n \cdot y_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( x_n \cdot y_n \right)}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} a^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} a^{x \cdot y} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden von Potenzgesetz III für rationale Exponenten
(3)
(4)
(5)
  • Einsetzen von \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x\) und \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{y_n}=y\)