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Wurzel

Bei der $\mathbf{n}$-ten Wurzel einer reellen Zahl $a$ handelt es sich um die (positive) reelle Zahl, deren $n$-te Potenz der Zahl $a$ entspricht. Es handelt sich um eine Umkehrung des Potenzierens.

Definition

Wurzel

Für eine nichtnegative reelle Zahl $a \in \R$ sowie eine natürliche Zahl $n \in \N$ mit $n \gt 1$ besitzt die Gleichung

\[ x^n = a \]

exakt eine nichtnegative reelle Lösung, die als die $\mathbf{n}$-te Wurzel von $\mathbf{a}$ bezeichnet und wie folgt geschrieben wird:

x = \sqrt[n]{a}.

Der Wert $\sqrt[n]{a}$ heißt Wurzel oder Radix. Die Zahl $n$ wird Wurzelexponent genannt und die Zahl $a$ ist der Radikand. Bei $\sqrt{\ \ }$ handelt es sich um das Wurzelzeichen. Das Wurzelziehen wird auch als Radizieren bezeichnet.

Typische Vertreter

Bei den folgenden Beispielen handelt es sich um einige typische Vertreter für Wurzeln:

Die zweite Wurzel wird typischerweise als Quadratwurzel oder einfach nur als Wurzel bezeichnet; der Wurzelexponent der Quadratwurzel wird im Normalfall weggelassen: $\sqrt[2]{a} = \sqrt{a}.$
Die dritte Wurzel wird häufig als Kubikwurzel bezeichnet: $\sqrt[3]{a}.$

Beispiele

Es gelten exemplarisch die folgenden Beispiele für Wurzeln:

Für die Quadratwurzel von $25$ gilt: $\sqrt{25} = 5.$
Für die Kubikwurzel von $27$ gilt: $\sqrt[3]{27} = 3.$
Für die zehnte Wurzel von $1024$ gilt: $\sqrt[10]{1024} = 2.$

Rechenregeln

Für das Rechnen mit Wurzeln gelten die folgenden Rechenregeln:

	Wurzelgesetz	Anwendbarkeit
I-a (Details)	$\displaystyle \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$	für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$, $b \geq 0$ und natürliche Zahlen $n$ für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ und ungerade natürliche Zahlen $n$
I-b (Details)	$\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$	für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$, $b \gt 0$ und natürliche Zahlen $n$ für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ mit $b \neq 0$ und ungerade natürliche Zahlen $n$
II-a (Details)	$\displaystyle \sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[n]{a} = \sqrt[m \cdot n]{a^{n+m}}$	für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$ und natürliche Zahlen $m,n$ für beliebige reelle Zahlen $a$ und ungerade natürliche Zahlen $m,n$
II-b (Details)	$\displaystyle \frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a^{n-m}}$	für positive reelle Zahlen $a \gt 0$ und natürliche Zahlen $m,n$ für beliebige reelle Zahlen $a$ mit $a \neq 0$ und ungerade natürliche Zahlen $m,n$
III (Details)	$\displaystyle \sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[m \cdot n]{a}$	für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$ und natürliche Zahlen $m,n$ für beliebige reelle Zahlen $a$ und ungerade natürliche Zahlen $m,n$
IV (Details)	$\displaystyle {\left( \sqrt[m]{a} \right)}^n = \sqrt[m]{a^n}$	für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$ und natürliche Zahlen $n$ für beliebige reelle Zahlen $a$ und ungerade natürliche Zahlen $n$
V (Details)	$\displaystyle \sqrt[m]{a^n} = \sqrt[m \cdot p]{a^{n \cdot p}}$	für reelle Zahlen $a \geq 0$, $n$ und natürliche Zahlen $m,p$
VI (Details)	$\displaystyle \sqrt[m]{a^n} = a^\frac{n}{m}$	für reelle Zahlen $a \geq 0$, $n$ und natürliche Zahlen $m$

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Eigenschaften

Zusammenhang mit Potenzen

Das Ziehen der $n$-ten Wurzel und das Potenzieren mit $n$ heben sich gegenseitig auf. Gemäß Definition gilt:

{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n = \sqrt[n]{a^n} = a.

Das Ziehen der $n$-ten Wurzel entspricht dem Potenzieren mit $\frac{1}{n}$. Nach den Potenzgesetzen gilt:

{\left( a^{\frac{1}{n}} \right)}^n = a^{\frac{n}{n}} = a^1 = a \Bigl[ = {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n \Bigr] \] \[ \Rightarrow\quad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}.

Eindeutigkeit von Wurzeln aus positiven (reellen) Zahlen

Für positive reelle Zahlen $a$ und gerade natürliche Zahlen $n$ besitzt die Gleichung $x^n=a$ stets zwei reelle Lösungen, die sich nur durch ihr Vorzeichen unterscheiden. Bei der $n$-ten Wurzel von $a$ handelt es sich in diesem Fall per Definition stets um die positive Lösung.

Wurzeln aus negativen (reellen) Zahlen

Für Wurzeln aus negativen reellen Zahlen existiert keine einheitliche Behandlung, wie die folgende Überlegung zu Potenzen verdeutlicht:

Gerade Potenzen $a^n$ von reellen Zahlen, d. h. Potenzen mit $n=2,4,6,\ldots$, sind stets nichtnegativ, woraus unmittelbar folgt, dass eine negative reelle Zahl nicht als gerade Potenz einer reellen Zahl dargestellt werden kann.
Ungerade Potenzen $a^n$ von reellen Zahlen, d. h. Potenzen mit $n=3,5,7,\ldots$, sind abhängig vom Vorzeichen von $a$ entweder positiv oder negativ. Es gilt beispielsweise ${(-2)}^3 = -8,$ wobei $-2$ zudem die einzige reelle Zahl ist, deren dritte Potenz $-8$ ist.

Bezüglich ungerader Wurzeln aus negativen reellen Zahlen, die prinzipiell berechnet werden können, werden im Wesentlichen die beiden folgenden Positionen vertreten:

Wurzeln aus negativen reellen Zahlen sind generell verboten. Demnach wäre z. B. $\sqrt[3]{-8}$ nicht definiert. Die Lösung der Gleichung $x^3 = -8$ wird dann als $x = -\sqrt[3]{8}$ aufgefasst.
Wurzeln aus negativen Zahlen sind erlaubt, falls der Wurzelexponent $n$ ungerade ist. Für ungerade Wurzelexponenten gilt generell
$\sqrt[2n+1]{-a} = -\sqrt[2n+1]{a}.$
Diese Variante ist allerdings mit einigen Wurzelgesetzen, die für positive Radikanden gelten, nicht vereinbar.

Aufgrund des in der Praxis bestehenden Bedarfs, Wurzeln aus negativen Zahlen zu berechnen, wurden die komplexen Zahlen als Erweiterung der reellen Zahlen eingeführt.

Berechnung von Wurzeln

Zurückführen auf andere Funktionen

Wurzeln aus positiven reellen Zahlen $a$ können wie jede Potenz mithilfe der Exponentialfunktion und des Logarithmus berechnet werden. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt[n]{a} &= a^{\frac{1}{n}} \\[0.5em] &= {\left( e^{\ln{a}} \right)}^{\frac{1}{n}} \\[0.5em] &= e^{\frac{\ln{a}}{n}}. \end{align*}

Numerische Berechnung

Es handelt sich bei $\sqrt[m]{a}$ um die (positive) Nullstelle der reellen Funktion $f(x) = x^m - a$. Mithilfe des Newton-Verfahrens können Näherungswerte $x_n$ für diese Nullstelle iterativ berechnet werden. Es gilt:

\begin{align*} x_{n+1} &= x_n - \frac{f(x_n)}{f^\prime(x_n)} \\[0.5em] &= x_n - \frac{x_n^m - a}{m \cdot x_n^{m-1}}. \end{align*}

Für $n=2$ entspricht dieses Verfahren dem Heron-Verfahren.

Das Verfahren konvergiert für jeden (positiven) reellen Startwert $x_0$. Je besser der Startwert gewählt ist, d.h., umso näher der Startwert bei der zu bestimmenden Wurzel liegt, desto schneller konvergiert das Verfahren. Für gerade Wurzeln und negative Startwerte konvergiert das Verfahren gegen die negative Wurzel.

Beispiel

Berechnung von $\sqrt{2}$ mithilfe des Newton-Verfahrens für verschiedene Startwerte:

$n$	$x_0 = 2$	$x_0 = 3$	$x_0 = 5$
$0$	$2$	$3$	$5$
$1$	$1.5$	$1.83333333333333\ldots$	$2.7$
$2$	$1.41666666666666\ldots$	$1.46212121212121\ldots$	$1.72037037037037\ldots$
$3$	$1.41421568627450\ldots$	$1.41499842989480\ldots$	$1.44145536817765\ldots$
$4$	$1.41421356237468\ldots$	$1.41421378004719\ldots$	$1.41447098136777\ldots$
$5$	$1.41421356237309\ldots$	$1.41421356237311\ldots$	$1.41421358579688\ldots$
$6$	$1.41421356237309\ldots$	$1.41421356237309\ldots$	$1.41421356237309\ldots$
$7$	$1.41421356237309\ldots$	$1.41421356237309\ldots$	$1.41421356237309\ldots$