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Multiplikation von gleichnamigen Wurzeln (Wurzelgesetz I-a)

Bei Wurzelgesetz I-a zur Multiplikation von gleichnamigen Wurzeln (auch Produktregel für Wurzeln genannt) handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie das Produkt von gleichnamigen Wurzeln, also von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten, auf die Wurzel des Produkts der Radikanden zurückgeführt werden kann.

Hinweis: Produkte von ungleichnamigen Wurzeln, also Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten, können mit Wurzelgesetz II-a zusammengefasst werden, falls sie denselben Radikanden besitzen, oder mit Wurzelgesetz V gleichnamig gemacht werden.

Definition

Produkt von zwei gleichnamigen Wurzeln

Für reelle Zahlen $x,y \in \R$ und eine natürliche Zahl $n \in \N$ kann das Produkt von gleichnamigen Wurzeln $\sqrt[n]{x}$ und $\sqrt[n]{y}$ berechnet werden, indem die beiden reellen Zahlen zunächst multipliziert werden und anschließend die Wurzel des Produkts bestimmt wird. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt{x} \cdot \sqrt{y} &= \sqrt{x \cdot y} \\[0.5em] \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} &= \sqrt[n]{x \cdot y}. \end{align*}

In Worten: Das Produkt der (gleichnamigen) Wurzeln entspricht der Wurzel des Produkts.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die Wurzel des Produkts kann also auch zum Produkt der Wurzeln umgeformt werden.

Die Produktregel für Wurzeln kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

für nichtnegative reelle Radikanden $x,y \in \R$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$;
für beliebige reelle Radikanden $x,y \in \R$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$.

Produkt von mehreren gleichnamigen Wurzeln

Allgemein gilt: Für mehrere reelle Zahlen kann das Produkt der gleichnamigen Wurzeln analog berechnet werden, indem die reellen Zahlen zunächst multipliziert werden und anschließend die Wurzel des Produkts bestimmt wird. Es gilt:

\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^{k}{\sqrt[n]{x_i}} &= \sqrt[n]{x_1} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{x_k} \\[0.5em] &= \sqrt[n]{x_1 \cdot \ldots \cdot x_k}. \end{align*}

Die Produktregel für mehrere Wurzeln kann in den folgenden Fällen angewendet werden (für $k \in \N$ und $k \geq 2$):

für nichtnegative reelle Radikanden $x_1,\ldots,x_k \in \R$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$;
für beliebige reelle Radikanden $x_1,\ldots,x_k \in \R$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird die Produktregel für Wurzeln verwendet, um die Quadratwurzel eines Produkt aus einem Koeffizienten und einer Variable $a \geq 0$ zu vereinfachen.

\begin{align*} \sqrt{4 \cdot a} &= \sqrt{4} \cdot \sqrt{a} \\[0.5em] &= 2 \cdot \sqrt{a} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von drei Kubikwurzeln berechnet.

\begin{align*} \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^3} &= \sqrt[3]{a^2 \cdot a \cdot a^3} \\[0.5em] &= \sqrt[3]{a^6} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} a^2 \end{align*}

Hinweis: Im letzten Schritt $(\star)$ wurde Wurzelgesetz VI verwendet, um die Wurzel der Potenz weiter zu vereinfachen.

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird das Produkt der Quadratwurzeln von zwei ganzen Zahlen berechnet.

\begin{align*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} &= \sqrt{2 \cdot 8} \\[0.5em] &= \sqrt{16} \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Beispiel 4

Beim vierten Beispiel handelt es sich um eine Warnung, um zu verdeutlichen, weshalb das Beachten der Gültigkeitsbereiche des Wurzelgesetzes essentiell ist: Werden diese missachtet, können leicht inhaltlich und mathematisch falsche Aussagen entstehen. Dies ist besonders kritisch, wenn sich die Vorzeichen hinter Variablen verstecken und nicht – wie im Beispiel – explizit sichtbar sind.

\begin{align*} \sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} &\overset{\unicode{x21af}}{=} \sqrt{(-1) \cdot (-1)} \\[0.5em] &= \sqrt{1} \\[0.5em] &= 1 \end{align*}

Die vorausgehende Rechnung scheitert genau genommen bereits daran, dass $\sqrt{-1}$ im Reellen nicht definiert ist. Wird dies ignoriert und $\sqrt{-1}$ als reelle Zahl $a$ mit $a^2=-1$ aufgefasst, so müsste $\sqrt{-1} \cdot \sqrt{-1} = -1$ gelten – im direkten Widerspruch zum berechneten Ergebnis $1$.

Hinweis: Die obige Umformung ist auch im Bereich der komplexen Zahlen nicht zulässig.

Beweis

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für das Produkt von zwei gleichnamigen Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ sowie eine natürliche Zahl $n \in \N$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzeln $\sqrt[n]{x}$ und $\sqrt[n]{y}$ definiert sind – dass also entweder $x \geq 0$ und $y \geq 0$ gilt oder dass $n$ ungerade ist.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend von der Wurzel eines Produkts hergeleitet. Zunächst wird hierzu der Term $ {\bigl( \sqrt[n]{x \cdot y} \bigr)}^n$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\bigl( \sqrt[n]{x \cdot y} \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} x \cdot y \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n \cdot {\bigl( \sqrt[n]{y} \bigr)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \bigr)}^n \\[1.5em] \implies \sqrt[n]{{\bigl( \sqrt[n]{x \cdot y} \bigr)}^n} &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{{\bigl( \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \bigr)}^n} \\[0.5em] \implies \sqrt[n]{x \cdot y} &\overset{(5)}{=} \sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ausrechnen von $ {\bigl( \sqrt[n]{\unicode{x2B1A}} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(2)	Ersetzen von $x$ durch $ {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel Ersetzen von $y$ durch $ {\bigl( \sqrt[n]{y} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(3)	Anwenden von Potenzgesetz II-a für natürliche Exponenten
(4)	Ziehen der $n$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung
(5)	Ausrechnen von $ {\bigl( \sqrt[n]{\unicode{x2B1A}^{n}} \bigr)}$ mithilfe von Wurzelgesetz IV und der Definition der Wurzel

Beweis des Wurzelgesetzes (allgemein)

Der Beweis der allgemeinen Produktregel für Wurzeln von Produkten mit beliebig vielen Faktoren kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits im vorausgehenden Abschnitt durch Nachrechnen erbrachte Beweis verwendet, dass das Rechengesetz für Produkte mit zwei Faktoren gilt. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Formel sei für Wurzeln von Produkten mit $k$ Faktoren gültig, auch die Gültigkeit für Produkte mit $k+1$ Faktoren folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $k=2$ gültig, wie bereits im vorherigen Abschnitt gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Das Wurzelgesetz gilt für ein fest gewähltes $k \in \N$ mit $k \geq 2$.

Für die Wurzel eines Produkts mit $k+1$ Faktoren gilt dann:

\begin{align*} \sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{k+1}{x_i}} &\overset{(1)}{=} \sqrt[n]{\left(\prod\limits_{i=1}^{k}{x_i}\right) \cdot x_{k+1}} \\[0.75em] &\overset{(2)}{=} \sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{k}{x_i}} \cdot \sqrt[n]{x_{k+1}} \\[0.75em] &\overset{(3)}{=} \left( \prod\limits_{i=1}^{k}{\sqrt[n]{x_i}} \right) \cdot \sqrt[n]{x_{k+1}} \\[0.75em] &\overset{(4)}{=} \prod\limits_{i=1}^{k+1}{\sqrt[n]{x_i}} \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Zurückführen der Wurzel des Produkts mit $k+1$ Faktoren auf die Wurzel eines Produkts mit 2 Faktoren Herausziehen des Faktors $x_{k+1}$ aus dem Produktzeichen
(2)	Anwenden des Wurzelgesetzes für den Fall mit zwei Faktoren
(3)	Ausrechnen der Wurzel $\sqrt[n]{\prod\limits_{i=1}^{k}{x_i}}$ mithilfe der Produktregel für Wurzeln, die gemäß Induktionsannahme für Produkte mit $k$ Faktoren gilt
(4)	Hineinziehen des Faktors $x_{k+1}$ in das Produktzeichen

Insgesamt folgt, dass die Produktregel für Wurzeln von Produkten mit $k+1$ Faktoren gilt, falls sie für Produkte mit $k$ Faktoren gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit der Produktregel für Wurzeln für alle Produkte mit $k \geq 2$ Faktoren.