de
Seitenbanner
Menu
A-Z
Nachlesen

Wurzelgesetz I-a: Multiplikation von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten

Bei Wurzelgesetz I-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie das Produkt von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten berechnet werden kann.

Definition

Das Produkt von zwei Wurzeln $\sqrt[n]{a}$ und $\sqrt[n]{b}$ mit demselben Wurzelexponenten $n$ kann berechnet werden, indem der gemeinsame Wurzelexponent $n$ beibehalten wird und die Radikanden $a$ und $b$ multipliziert werden. Es gilt:

\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$, $b \geq 0$ und natürliche Zahlen $n$;
  • für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ und ungerade natürliche Zahlen $n$.

Allgemein: Das Produkt von mehreren Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten $n$ kann analog berechnet werden, indem der gemeinsame Wurzelexponent $n$ beibehalten wird und alle Radikanden multipliziert werden. Es gilt:

\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^{k}{\sqrt[n]{a_i}} &= \sqrt[n]{a_1} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{a_k} \\[0.5em] &= \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_k}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Quadratwurzeln berechnet.

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von drei Kubikwurzeln berechnet.

\begin{align*} \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^3} &= \sqrt[3]{a^2 \cdot a \cdot a^3} \\[0.5em] &= \sqrt[3]{a^6} \\[0.5em] &= a^2 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Quadratwurzeln ganzer Zahlen berechnet.

\begin{align*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} &= \sqrt{2 \cdot 8} \\[0.5em] &= \sqrt{16} \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$ mit $a \geq 0$ und $b \geq 0$ sowie eine natürliche Zahl $n \in \N$. Zunächst wird der Term $ {\left( \sqrt[n]{a \cdot b} \right)}^n$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[n]{a \cdot b} \right)}^n &\overset{(1)}{=} a \cdot b \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n \cdot {\left( \sqrt[n]{b} \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \right)}^n \\[0.75em] \Rightarrow\ \sqrt[n]{a \cdot b} &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen von $a$ mit $ {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
  • Ersetzen von $b$ mit $ {\left( \sqrt[n]{b} \right)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(3)
(4)
  • Ziehen der $n$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung