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Potenzgesetz II-a: Multiplikation von Potenzen mit demselben Exponenten

Bei Potenzgesetz II-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie das Produkt von Potenzen mit demselben Exponenten berechnet werden kann.

Definition

Das Produkt von zwei Potenzen $a^n$ und $b^n$ mit demselben Exponenten $n$ kann berechnet werden, indem die Basen $a$ und $b$ multipliziert werden und der Exponent $n$ beibehalten wird. Es gilt:

\[ a^n \cdot b^n = {\bigl( a \cdot b \bigr)}^n. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für beliebige natürliche Exponenten $n \in \N$;
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$, falls $a \neq 0$ und $b \neq 0$ gilt;
  • für beliebige reelle Exponenten $n \in \R$, falls $a \gt 0$ und $b \gt 0$ gilt;
  • für beliebige rationale Exponenten $n \in \Q$ mit ungeraden Nennern, falls mindestens eine der Aussagen $a \lt 0$ oder $b \lt 0$ gilt.

Allgemein: Das Produkt von mehreren Potenzen mit demselben Exponenten $n$ kann analog berechnet werden, indem die Basen multipliziert werden und der Exponent beibehalten wird. Es gilt:

\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^{k}{a_i^n} &= a_1^n \cdot \ldots \cdot a_k^n \\[0.5em] &= {\left( a_1 \cdot \ldots \cdot a_k \right)}^n. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Potenzen mit demselben natürlichen Exponenten berechnet.

\[ a^3 \cdot b^3 = {\left( a \cdot b \right)}^3 \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von vier Potenzen mit demselben rationalen Exponenten berechnet.

\[ a^\frac{1}{2} \cdot b^\frac{1}{2} \cdot c^\frac{1}{2} \cdot d^\frac{1}{2} = {\left( a \cdot b \cdot c \cdot d \right)}^\frac{1}{2} \]

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $a^n$ und $b^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $n$ mal den Faktor $a$ bzw. $b$ besitzen. Dann gilt:

\begin{align*} a^n \cdot b^n &\overset{(1)}{=} \underbrace{\bigl( a \cdot \ldots \cdot a \bigr)}_{n \text{ Faktoren}} \cdot \underbrace{\bigl( b \cdot \ldots \cdot b \bigr)}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \underbrace{\bigl( a \cdot b \bigr) \cdot \ldots \cdot \bigl( a \cdot b \bigr)}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl( a \cdot b \bigr)}^n \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Vertauschen der Reihenfolge der Faktoren mithilfe des Kommutativgesetzes für die Multiplikation von reellen Zahlen
  • Klammern der Faktoren $a \cdot b$ mithilfe des Assoziativgesetzes für die Multiplikation von reellen Zahlen.
(3)
  • Ersetzen des Produkts aus $n$ Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ganze Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

  • $\underline{\text{Fall 1:}\ n \gt 0}$

    Dieser Fall entspricht dem Produkt zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

  • $\underline{\text{Fall 2:}\ n \lt 0}$

    Gegeben seien eine ganze Zahl $n \in \Z$ mit $n \lt 0$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt $|n|=-n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} a^n \cdot b^n &\overset{(1)}{=} a^{-|n|} \cdot b^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{a^{|n|}} \cdot \frac{1}{b^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{a^{|n|} \cdot b^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{{(a \cdot b)}^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\bigl(a \cdot b \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\bigl(a \cdot b \bigr)}^n \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch den negierten Betrag von $n$
    (2)
    (3)
    • Zusammenfassen zu einem Quotienten
    (4)
    • Anwenden von Potenzgesetz II-a für natürliche Exponenten
    (5)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
    (6)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl $n$

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei ganze Zahlen $n,r \in \Z$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Dann gilt:

\begin{align*} a^{\frac{r}{n}} \cdot b^{\frac{r}{n}} &\overset{(1)}{=} \sqrt[n]{{\left( a^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}} \cdot \sqrt[n]{{\left( b^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \sqrt[n]{a^{\frac{r}{n} \cdot n}} \cdot \sqrt[n]{b^{\frac{r}{n} \cdot n}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \sqrt[n]{a^r} \cdot \sqrt[n]{b^r} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{a^r \cdot b^r} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[n]{{\bigl(a \cdot b \bigr)}^r} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\bigl(a \cdot b \bigr)}^{\frac{r}{n}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt $\sqrt[n]{a^n} = a$
(2)
(3)
  • Kürzen liefert $\frac{r}{n} \cdot n = r$
(4)
(5)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-a für ganzzahlige Exponenten
(6)
  • Umschreiben der Wurzel als Potenz; es gilt $\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$, eine Folge $ {(x_n)}_{n \in \N}$ rationaler Zahlen mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x$, die gegen $x$ konvergiert, sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Dann gilt:

\begin{align*} a^x \cdot b^x &\overset{(1)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \right)} \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( b^{x_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \cdot b^{x_n} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{(a \cdot b)}^{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {(a \cdot b)}^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {(a \cdot b)}^x \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden des Grenzwertsatzes für das Produkt von Grenzwerten
(3)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-a für rationale Exponenten
(4)
(5)
  • Einsetzen von $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x$