Potenz eines Produkts (Potenzgesetz II-a)

Potenzen von Produkten mit zwei Faktoren

Für zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ und einen reellen Exponenten $n \in \R$ kann die Potenz eines Produkts mit zwei Faktoren $x$ und $y$ berechnet werden, indem die Werte $x$ und $y$ zunächst potenziert und anschließend ihre Potenzen multipliziert werden. Es gilt:

In Worten: Die Potenz eines Produkts entspricht dem Produkt der Potenzen.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; das Produkt der Potenzen mit gleichen Exponenten kann insbesondere wieder in die Potenz des Produkts überführt werden.

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

• für $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n$;
• für $x \geq 0$ und $y \geq 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n$ mit $n \geq 0$;
• für $x \lt 0$ und/oder $y \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern; gilt zusätzlich $x=0$ oder $y=0$, so muss zudem $n \geq 0$ gelten.

Potenzen von Produkten mit mehreren Faktoren

Allgemein gilt: Die Potenz eines Produkts mit mehreren reellen Faktoren kann analog berechnet werden, indem alle Faktoren zunächst potenziert und anschließend ihre Potenzen multipliziert werden. Es gilt:

Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden (für $k \in \N$ und $k \geq 2$):

• für $x_i \gt 0$ (für alle $i$ mit $1 \leq i \leq k$) und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n$;
• für $x_i \geq 0$ (für alle $i$ mit $1 \leq i \leq k$) und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n$ mit $n \geq 0$;
• für $x_i \lt 0$ (für mindestens ein $i$ mit $1 \leq i \leq k$) und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern; gilt zusätzlich $x_i=0$ für mindestens ein $i$, so muss zudem $n \geq 0$ gelten.

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Potenzen mit demselben natürlichen Exponenten berechnet.

Beispiel 2

Das zweite Beispiel demonstriert, wie ein Produkt von vier Potenzen mit demselben rationalen Exponenten berechnet und vereinfacht werden kann.

An der Stelle ($\star$) wird Wurzelgesetz VI verwendet, um die Potenz in eine Wurzel umzuschreiben.

Beispiel 3

Das dritte Beispiel nutzt Potenzgesetz II-a, um die Potenz eines Produkts aus zwei Variablen $a \neq 0$ und $b \neq 0$ umzuschreiben, damit der Ausdruck im Anschluss weiter vereinfacht werden kann.

An der Stelle ($\star$) wird Potenzgesetz I-b verwendet, um die Potenzen im Zähler und im Nenner zusammenzufassen.

Beweis des Potenzgesetzes für natürliche Exponenten

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N_0$ sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $x^n$ und $y^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $n$ mal den Faktor $x$ bzw. $n$ mal den Faktor $y$ besitzen. Falls $n=0$ gilt, handelt es sich bei $x^n$ bzw. $y^n$ um das leere Produkt, das aus null Faktoren besteht und den Wert 1 besitzt. Es gilt:

Beweis des Potenzgesetzes für ganzzahlige Exponenten

Für die Erweiterung des Potenzgesetzes auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

• Fall 1: $n \geq 0$
  

  Dieser Fall entspricht dem Produkt zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

• Fall 2: $n \lt 0$
  

  Gegeben seien eine ganze Zahl $n \in \Z$ mit $n \lt 0$ sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \neq 0$ und $y \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $n \lt 0$ gilt $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Es gilt:

  \begin{align*} x^n \cdot y^n &\overset{(1)}{=} x^{-|n|} \cdot y^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{1}{x^{|n|}} \cdot \frac{1}{y^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{1}{x^{|n|} \cdot y^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \frac{1}{{\bigl( x \cdot y \bigr)}^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\bigl(x \cdot y \bigr)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\bigl(x \cdot y \bigr)}^n \end{align*}

  Erklärungen zu den Schritten
  (1)	Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-|n|$
  (2)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (3)	Zusammenfassen zu einem Quotienten
  (4)	Anwenden von Potenzgesetz II-a für natürliche bzw. nichtnegative ganzzahlige Exponenten
  (5)	Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
  (6)	Ersetzen des negierten Betrags $-|n|$ durch die (negative) Zahl $n$

Beweis des Potenzgesetzes für rationale Exponenten

Das Potenzgesetz für die Multiplikation von Potenzen mit gleichen Exponenten kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien ganze Zahlen $n,r \in \Z$ mit $r > 0$ sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$. Für $x \gt 0$ und $y \gt 0$ gelten keine weiteren Einschränkungen, für $x = 0$ oder $y = 0$ gelte zudem $n \geq 0$ und für $x \lt 0$ oder $y \lt 0$ gelte zusätzlich, dass $r$ ungerade ist. Dann gilt:

Beweis des Potenzgesetzes für reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $n \in \R$, eine Folge $ {(n_k)}_{k \in \N}$ rationaler Zahlen mit dem Grenzwert $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}=n$, die also gegen $n$ konvergiert, sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$. Dann gilt:

Beweis des Potenzgesetzes (allgemein)

Der Beweis für das allgemeine Potenzgesetz für Produkte aus beliebig vielen Potenzen mit demselben Exponenten kann mithilfe einer vollständigen Induktion erbracht werden. Hierzu wird der bereits in den vorausgehenden Abschnitten durch Nachrechnen erbrachte Beweis verwendet, dass das Rechengesetz für Produkte mit zwei Faktoren gilt. Anschließend wird gezeigt, dass unter der Annahme, die Formel sei für Produkte mit $k$ Faktoren gültig, auch die Gültigkeit für Produkte mit $k+1$ Faktoren folgt.

(I) Induktionsanfang
Die Aussage ist für $k=2$ gültig, wie bereits in den vorherigen Abschnitten gezeigt wurde.

(II) Induktionsschritt
Induktionsannahme: Das Potenzgesetz gilt für ein fest gewähltes $k \in \N$ mit $k \geq 2$.

Für das Produkt mit $k+1$ Faktoren gilt dann:

Insgesamt folgt, dass das Potenzgesetz für Produkten aus $k+1$ Potenzen gilt, falls es für Produkte aus $k$ Potenzen gilt. Zusammen mit dem Induktionsanfang folgt nach dem Induktionsprinzip somit die Gültigkeit des Potenzgesetzes für alle Produkte aus $k \geq 2$ Potenzen.