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Wurzelgesetz I-a: Multiplikation von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten

Bei Wurzelgesetz I-a handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie das Produkt von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten berechnet werden kann.

Inhalt

Definition

Das Produkt von zwei Wurzeln \(\sqrt[n]{a}\) und \(\sqrt[n]{b}\) mit demselben Wurzelexponenten \(n\) kann berechnet werden, indem der gemeinsame Wurzelexponent \(n\) beibehalten wird und die Radikanden $a$ und $b$ multipliziert werden. Es gilt:

\[ \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$, $b \geq 0$ und natürliche Zahlen $n$;
  • für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ und ungerade natürliche Zahlen $n$.

Allgemein: Das Produkt von mehreren Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten \(n\) kann analog berechnet werden, indem der gemeinsame Wurzelexponent \(n\) beibehalten wird und alle Radikanden multipliziert werden. Es gilt:

\begin{align*} \prod\limits_{i=1}^{k}{\sqrt[n]{a_i}} &= \sqrt[n]{a_1} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{a_k} \\[0.5em] &= \sqrt[n]{a_1 \cdot \ldots \cdot a_k}. \end{align*}

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Quadratwurzeln berechnet.

\[ \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von drei Kubikwurzeln berechnet.

\begin{align*} \sqrt[3]{a^2} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a^3} &= \sqrt[3]{a^2 \cdot a \cdot a^3} \\[0.5em] &= \sqrt[3]{a^6} \\[0.5em] &= a^2 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch das Produkt von zwei Quadratwurzeln ganzer Zahlen berechnet.

\begin{align*} \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} &= \sqrt{2 \cdot 8} \\[0.5em] &= \sqrt{16} \\[0.5em] &= 4 \end{align*}

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(a,b \in \R\) mit \(a \geq 0\) und \(b \geq 0\) sowie eine natürliche Zahl \(n \in \N\). Zunächst wird der Term \({\left( \sqrt[n]{a \cdot b} \right)}^n\) betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[n]{a \cdot b} \right)}^n &\overset{(1)}{=} a \cdot b \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n \cdot {\left( \sqrt[n]{b} \right)}^n \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \right)}^n \\[0.75em] \Rightarrow\ \sqrt[n]{a \cdot b} &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen von \(a\) mit \({\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n\) mithilfe der Definition der Wurzel
  • Ersetzen von \(b\) mit \({\left( \sqrt[n]{b} \right)}^n\) mithilfe der Definition der Wurzel
(3)
(4)
  • Ziehen der \(n\)-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung