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Division von gleichnamigen Wurzeln (Wurzelgesetz I-b)

Bei Wurzelgesetz I-b zur Division von gleichnamigen Wurzeln (auch Quotientenregel für Wurzeln genannt) handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie der Quotient von gleichnamigen Wurzeln, also von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten, auf die Wurzel des Quotienten der Radikanden zurückgeführt werden kann.

Hinweis: Quotienten von ungleichnamigen Wurzeln, also Wurzeln mit verschiedenen Wurzelexponenten, können mit Wurzelgesetz II-b zusammengefasst werden, falls sie denselben Radikanden besitzen, oder mit Wurzelgesetz V gleichnamig gemacht werden.

Definition

Für reelle Zahlen $x,y \in \R$ und eine natürliche Zahl $n \in \N$ kann dar Quotient von gleichnamigen Wurzeln $\sqrt[n]{x}$ und $\sqrt[n]{y}$ berechnet werden, indem die beiden reellen Zahlen zunächst dividiert werden und anschließend die Wurzel des Quotienten bestimmt wird. Es gilt:

\begin{align*} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} &= \sqrt{\frac{x}{y}} \\[0.5em] \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} &= \sqrt[n]{\frac{x}{y}}. \end{align*}

In Worten: Der Quotient der (gleichnamigen) Wurzeln entspricht der Wurzel des Quotienten.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die Wurzel des Quotienten kann also auch zum Quotienten der Wurzeln umgeformt werden.

Die Quotientenregel für Wurzeln kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Radikanden $x,y \in \R$ mit $y \gt 0$ und beliebige natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$;
  • für beliebige reelle Radikanden $x,y \in \R$ mit $y \neq 0$ und ungerade natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird die Quotientenregel für Wurzeln verwendet, um die Quadratwurzel eines Quotienten aus einer Variablen $a \geq 0$ und einem Koeffizienten zu vereinfachen.

\begin{align*} \sqrt{\frac{a}{4}} &= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{4}} \\[0.5em] &= \frac{\sqrt{a}}{2} \\[0.5em] &= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{a} \end{align*}

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Kubikwurzeln berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{a^7}}{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[3]{\frac{a^7}{a}} \\[0.5em] &= \sqrt[3]{a^6} \\[0.5em] &\overset{(\star)}{=} a^2 \end{align*}

Hinweis: Im letzten Schritt $(\star)$ wurde Wurzelgesetz VI verwendet, um die Wurzel der Potenz weiter zu vereinfachen.

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Quadratwurzeln ganzer Zahlen berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} &= \sqrt{\frac{12}{3}} \\[0.5em] &= \sqrt{4} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für den Quotienten von zwei gleichnamigen Wurzeln kann durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ sowie eine natürliche Zahl $n \in \N$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzeln $\sqrt[n]{x}$ und $\sqrt[n]{y}$ definiert sind und dass $y \neq 0$ gilt – dass also entweder $x \geq 0$ und $y \gt 0$ gilt oder dass $n$ ungerade ist und $y \neq 0$ gilt.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend von der Wurzel eines Quotienten hergeleitet. Zunächst wird hierzu der Term $ {\bigl( \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \bigr)}^n$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \right)}^n &\overset{(1)}{=} \frac{x}{y} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{{\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n}{{\bigl( \sqrt[n]{y} \bigr)}^n} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \right)}^n \\[1.5em] \implies \sqrt[n]{{\left( \sqrt[n]{\frac{x}{y}} \right)}^n} &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{{\left( \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \right)}^n} \\[0.5em] \implies \sqrt[n]{\frac{x}{y}} &\overset{(5)}{=} \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen von $x$ mit $ {\bigl( \sqrt[n]{x} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
  • Ersetzen von $y$ mit $ {\bigl( \sqrt[n]{y} \bigr)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(3)
(4)
  • Ziehen der $n$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung
(5)
  • Ausrechnen von $\sqrt[n]{\unicode{x2B1A}^{n}}$ mithilfe von Wurzelgesetz IV und der Definition der Wurzel