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Wurzelgesetz I-b: Division von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten

Bei Wurzelgesetz I-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Quotient von Wurzeln mit demselben Wurzelexponenten berechnet werden kann.

Definition

Der Quotient von zwei Wurzeln $\sqrt[n]{a}$ und $\sqrt[n]{b}$ mit demselben Wurzelexponenten $n$ kann berechnet werden, indem der gemeinsame Wurzelexponent $n$ beibehalten wird und die Radikanden $a$ und $b$ dividiert werden. Es gilt:

\[ \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Zahlen $a \geq 0$, $b \gt 0$ und natürliche Zahlen $n$;
  • für beliebige reelle Zahlen $a$, $b$ mit $b \neq 0$ und ungerade natürliche Zahlen $n$.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Quadratwurzeln berechnet.

\[ \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Kubikwurzeln berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt[3]{a^7}}{\sqrt[3]{a}} &= \sqrt[3]{\frac{a^7}{a}} \\[0.5em] &= \sqrt[3]{a^6} \\[0.5em] &= a^2 \end{align*}

Beispiel 3

Im dritten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Quadratwurzeln ganzer Zahlen berechnet.

\begin{align*} \frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} &= \sqrt{\frac{12}{3}} \\[0.5em] &= \sqrt{4} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$ mit $a \geq 0$ und $b \gt 0$ sowie eine natürliche Zahl $n \in \N$. Zunächst wird der Term $ {\left( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \right)}^n$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \right)}^n &\overset{(1)}{=} \frac{a}{b} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n}{{\left( \sqrt[n]{b} \right)}^n} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \right)}^n \\[0.75em] \Rightarrow\ \sqrt[n]{\frac{a}{b}} &\overset{(4)}{=} \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Ersetzen von $a$ mit $ {\left( \sqrt[n]{a} \right)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
  • Ersetzen von $b$ mit $ {\left( \sqrt[n]{b} \right)}^n$ mithilfe der Definition der Wurzel
(3)
(4)
  • Ziehen der $n$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung