Potenz eines Quotienten (Potenzgesetz II-b)
Bei Potenzgesetz II-b zur Potenz eines Quotienten bzw. zur Division von Potenzen mit gleichen Exponenten handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie die Potenz eines Quotienten auf den Quotienten der Potenzen von Dividend und Divisor zurückgeführt werden kann bzw. umgekehrt, wie Potenzen mit demselben Exponenten dividiert und zu einer Potenz zusammengefasst werden können.
Hinweis: Quotienten von Potenzen mit gleichen Basen können mit Potenzgesetz I-b zusammengefasst werden.
Definition
Für zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $y \neq 0$ und einen reellen Exponenten $n \in \R$ kann die Potenz eines Quotienten berechnet werden, indem die Werte $x$ und $y$ zunächst potenziert und anschließend ihre Potenzen dividiert werden. Es gilt:
In Worten: Die Potenz eines Quotienten entspricht dem Quotienten der Potenzen.
Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; der Quotient der Potenzen mit gleichen Exponenten kann insbesondere wieder in die Potenz des Quotienten überführt werden.
Die Potenzregel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:
- für $x \gt 0$ und $y \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze, rationale und reelle Exponenten $n$;
- für $x = 0$ und $y \gt 0$ und beliebige natürliche, ganze und rationale Exponenten $n$ mit $n \geq 0$;
- für $x \lt 0$ und/oder $y \lt 0$ und beliebige natürliche und ganzzahlige Exponenten sowie für rationale Exponenten mit ungeraden Nennern; gilt zusätzlich $x=0$, so muss zudem $n \geq 0$ gelten.
Beispiele
Beispiel 1
Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit demselben natürlichen Exponenten berechnet.
Beispiel 2
Das zweite Beispiel demonstriert, wie ein Quotient von zwei Potenzen mit demselben rationalen Exponenten berechnet und vereinfacht werden kann.
An der Stelle ($\star$) wird Wurzelgesetz VI verwendet, um die Potenz in eine Wurzel umzuschreiben.
Beispiel 3
Das dritte Beispiel nutzt Potenzgesetz II-b, um die Potenz eines Quotienten aus reellen Zahlen umzuschreiben, damit der Ausdruck im Anschluss weiter vereinfacht werden kann.
Beweis
Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt, da diese Fälle direkt aufeinander aufbauen. Insbesondere für den Fall rationaler Exponenten werden zudem einige Wurzelgesetze benötigt; für den Fall reeller Exponenten sind zudem einige Grenzwertsätze erforderlich.
In allen Fällen erfolgt die Herleitung bzw. der Beweis des Potenzgesetzes durch direktes Nachrechnen und Zurückführen auf andere, bereits bewiesene Rechengesetze. Dies erfolgt hierbei stets ausgehend vom Quotienten der Potenzen.
Beweis des Potenzgesetzes für natürliche Exponenten
Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N_0$ sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $y \neq 0$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $x^n$ und $y^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $n$ mal den Faktor $x$ bzw. $n$ mal den Faktor $y$ besitzen. Falls $n=0$ gilt, handelt es sich bei $x^n$ bzw. $y^n$ um das leere Produkt, das aus null Faktoren besteht und den Wert 1 besitzt. Es gilt:
| Erklärungen zu den Schritten | |
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| (1) |
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| (2) |
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| (3) |
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Beweis des Potenzgesetzes für ganzzahlige Exponenten
Für die Erweiterung des Potenzgesetzes auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.
- Fall 1: $n \geq 0$
Dieser Fall entspricht dem Quotienten zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.
- Fall 2: $n \lt 0$
Gegeben seien eine ganze Zahl $n \in \Z$ mit $n \lt 0$ sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \neq 0$ und $y \neq 0$. Für negative ganze Zahlen $n \lt 0$ gilt $|n| = -n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Es gilt:
\begin{align*} \frac{x^n}{y^n} &\overset{(1)}{=} \frac{x^{-|n|}}{y^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{1}{x^{|n|}}}{\frac{1}{y^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{y^{|n|}}{x^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {\left( \frac{y}{x} \right)}^{|n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\left( \frac{1}{\frac{x}{y}} \right)}^{|n|} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} \frac{1}{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(7)}{=} {\left( \frac{x}{y} \right)}^{-|n|} \\[0.5em] &\overset{(8)}{=} {\left( \frac{x}{y} \right)}^{n} \end{align*}Erklärungen zu den Schritten (1) - Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch ihren negierten Betrag $-|n|$
(2) - Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(3) - Auflösen des Doppelbruchs
(4) - Anwenden von Potenzgesetz II-b für natürliche bzw. nichtnegative ganzzahlige Exponenten
(5) - Umschreiben von $\frac{y}{x}$ als Doppelbruch
(6) - Anwenden von Potenzgesetz II-b für natürliche bzw. nichtnegative ganzzahlige Exponenten
- Es gilt $1^{|n|}=1$
(7) - Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten
(8) - Ersetzen des negierten Betrags $-|n|$ durch die (negative) Zahl $n$
Beweis des Potenzgesetzes für rationale Exponenten
Das Potenzgesetz für die Division von Potenzen mit gleichen Exponenten kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien ganze Zahlen $n,r \in \Z$ mit $r > 0$ sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $y \neq 0$. Für $x \gt 0$ und $y \gt 0$ gelten keine weiteren Einschränkungen, für $x = 0$ gelte zudem $n \geq 0$ und für $x \lt 0$ oder $y \lt 0$ gelte zusätzlich, dass $r$ ungerade ist. Dann gilt:
| Erklärungen zu den Schritten | |
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Beweis des Potenzgesetzes für reelle Exponenten
Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $n \in \R$, eine Folge $ {(n_k)}_{k \in \N}$ rationaler Zahlen mit dem Grenzwert $\lim\limits_{k \rightarrow \infty}{n_k}=n$, die also gegen $n$ konvergiert, sowie zwei reelle Zahlen $x,y \in \R$ mit $x \gt 0$ und $y \gt 0$. Dann gilt:
| Erklärungen zu den Schritten | |
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