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Potenzgesetz II-b: Division von Potenzen mit demselben Exponenten

Bei Potenzgesetz II-b handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie der Quotient von Potenzen mit demselben Exponenten berechnet werden kann.

Definition

Der Quotient von zwei Potenzen $a^n$ und $b^n$ mit demselben Exponenten $n$ kann berechnet werden (für $b \neq 0$), indem die Basen $a$ und $b$ dividiert werden und der Exponent $n$ beibehalten wird. Es gilt:

\[ \frac{a^n}{b^n} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^n. \]

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ mit $n \geq 0$ und $b \neq 0$;
  • für beliebige ganzzahlige Exponenten $n \in \Z$ mit $n \leq 0$ und $a \neq 0$;
  • für beliebige reelle Exponenten $n \in \R$, falls $a \gt 0$ und $b \gt 0$ gilt;
  • für beliebige rationale Exponenten $n \in \Q$ mit ungeradem Nenner, falls mindestens eine der Aussagen $a \lt 0$ oder $b \lt 0$ gilt.

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit demselben natürlichen Exponenten berechnet.

\[ \frac{a^3}{b^3} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^3 \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch der Quotient von zwei Potenzen mit demselben rationalen Exponenten berechnet.

\[ \frac{a^\frac{1}{2}}{b^\frac{1}{2}} = {\left( \frac{a}{b} \right)}^\frac{1}{2} \]

Beweis

Der Beweis des Potenzgesetzes wird für natürliche, ganzzahlige, rationale und reelle Exponenten separat durchgeführt.

Natürliche Exponenten

Gegeben seien eine natürliche Zahl $n \in \N$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. In diesem Fall handelt es sich bei den Potenzen $a^n$ und $b^n$ lediglich um Kurzschreibweisen für die Produkte, die genau $n$ mal den Faktor $a$ bzw. $b$ besitzen. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^n}{b^n} &\overset{(1)}{=} \frac{\overbrace{\bigl( a \cdot \ldots \cdot a \bigr)}^{n \text{ Faktoren}}}{\underbrace{\bigl( b \cdot \ldots \cdot b \bigr)}_{n \text{ Faktoren}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \ldots \cdot \frac{a}{b}}_{n \text{ Faktoren}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^n \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Aufteilen des Quotienten auf insgesamt $n$ Faktoren
(3)
  • Ersetzen des Produkts aus $n$ Faktoren mithilfe der Definition von Potenzen mit natürlichen Exponenten

Ganze Exponenten

Für die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten müssen zusätzlich die Fälle betrachtet werden, in denen negative ganzzahlige Exponenten auftreten.

  • $\underline{\text{Fall 1:}\ n \gt 0}$

    Dieser Fall entspricht dem Quotienten zweier Potenzen mit natürlichen Exponenten.

  • $\underline{\text{Fall 2:}\ n \lt 0}$

    Gegeben seien eine ganze Zahl $n \in \Z$ mit $n \lt 0$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Wegen $n \lt 0$ gilt $|n|=-n$ bzw. $n = -|n|$, wobei es sich bei $|n|$ um den Betrag von $n$ handelt. Dann gilt:

    \begin{align*} \frac{a^n}{b^n} &\overset{(1)}{=} \frac{a^{-|n|}}{b^{-|n|}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\frac{1}{a^{|n|}}}{\frac{1}{b^{|n|}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{b^{|n|}}{a^{|n|}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {\left( \frac{b}{a} \right)}^{|n|} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\left( \frac{b}{a} \right)}^{-n} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^{n} \end{align*}
    Erklärungen zu den Schritten
    (1)
    • Ersetzen der negativen Zahl $n$ durch den negierten Betrag von $n$
    (2)
    (3)
    • Auflösen des Doppelbruchs
    (4)
    • Anwenden von Potenzgesetz II-b für natürliche Exponenten
    (5)
    • Ausrechnen des Betrags der negativen Zahl $n$
    (6)
    • Anwenden der Definition von Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten

Rationale Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für rationale Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei ganze Zahlen $n,r \in \Z$ sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^{\frac{r}{n}}}{a^{\frac{r}{n}}} &\overset{(1)}{=} \frac{\sqrt[n]{{\left( a^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}}}{\sqrt[n]{{\left( b^{\frac{r}{n}} \right)}^{n}}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \frac{\sqrt[n]{a^{\frac{r}{n} \cdot n}}}{\sqrt[n]{b^{\frac{r}{n} \cdot n}}} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \frac{\sqrt[n]{a^r}}{\sqrt[n]{b^r}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{\frac{a^r}{b^r}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} \sqrt[n]{{\left( \frac{a}{b} \right)}^r} \\[0.5em] &\overset{(6)}{=} {\left( \frac{a}{b}\right)}^{\frac{r}{n}} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Anwenden der Eigenschaft, dass es sich beim Potenzieren und Wurzelziehen um Umkehroperationen handelt; es gilt $\sqrt[n]{a^n} = a$
(2)
(3)
  • Kürzen liefert $\frac{r}{n} \cdot n = r$
(4)
(5)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-b für ganzzahlige Exponenten
(6)
  • Umschreiben der Wurzel als Potenz; es gilt $\sqrt[n]{a} = a^\frac{1}{n}$

Reelle Exponenten

Die Gültigkeit des Potenzgesetzes kann für reelle Exponenten durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$, eine Folge $ {(x_n)}_{n \in \N}$ rationaler Zahlen mit $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x$, die gegen $x$ konvergiert, sowie zwei reelle Zahlen $a,b \in \R$. Dann gilt:

\begin{align*} \frac{a^x}{b^x} &\overset{(1)}{=} \frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( a^{x_n} \right)}}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( b^{x_n} \right)}} \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\left( \frac{a^{x_n}}{b^{x_n}} \right)} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{{\left( \frac{a}{b} \right)}^{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(4)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}} \\[0.5em] &\overset{(5)}{=} {\left( \frac{a}{b} \right)}^x \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Anwenden des Grenzwertsatzes für den Quotienten von Grenzwerten
(3)
  • Anwenden von Potenzgesetz II-b für rationale Exponenten
(4)
(5)
  • Einsetzen von $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{x_n}=x$