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Wurzelgesetz VI: Umschreiben von Wurzeln zu Potenzen

Bei Wurzelgesetz VI handelt es sich um eine Rechenregel, die beschreibt, wie eine Wurzel in eine Potenz umgeschrieben werden kann.

Inhalt

Definition

Eine Wurzel kann in eine Potenz umgeschrieben werden, indem der Radikand mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten potenziert wird. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt[m]{a} &= a^\frac{1}{m} \\[0.5em] \sqrt[m]{a^n} &= a^\frac{n}{m}. \end{align*}

Die Regel kann in den folgenden Fällen angewendet werden:

Beispiele

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Quadratwurzel einer Zahl als Potenz umgeschrieben.

\[ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \]

Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wird exemplarisch die Kubikwurzel einer ganzen Zahl als Potenz umgeschrieben.

\[ \sqrt[3]{8} = 8^\frac{1}{3} \]

Beweis

Das Wurzelgesetz kann durch Nachrechnen direkt gezeigt werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen \(a,n \in \R\) mit \(a \geq 0\) sowie eine natürliche Zahl \(m \in \N\). Zunächst wird der Term \({\left( \sqrt[m]{a^n} \right)}^m\) betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\left( \sqrt[m]{a^n} \right)}^m &\overset{(1)}{=} a^n \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^{\frac{n}{m} \cdot m} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\left( a^\frac{n}{m} \right)}^m \\[0.75em] \Rightarrow\ \sqrt[m]{a^n} &\overset{(4)}{=} a^\frac{n}{m} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Multiplikation des Exponenten mit Eins; es gilt \(n = \frac{n}{m} \cdot m\)
(3)
(4)
  • Ziehen der \(m\)-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung