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Wurzeln zu Potenzen umschreiben (Wurzelgesetz VI)

Bei Wurzelgesetz VI zum Umschreiben von Wurzeln zu Potenzen handelt es sich um eine grundlegende mathematische Rechenregel. Sie beschreibt, wie eine Wurzel durch eine Potenz dargestellt werden kann – und umgekehrt. Sie kann außerdem verwendet werden, um Rechengesetze wie beispielsweise Wurzelgesetz II-a oder Wurzelgesetz II-b zu beweisen.

Definition

Gegeben seien eine reelle Zahl $x \in \R$, eine natürliche Zahl $n \in \N$ und ein reeller Exponent $m \in \R$. Jede Wurzel kann mithilfe der nachfolgenden Formeln zu einer Potenz umgeschrieben werden. Die erste Formel entspricht hierbei der allgemeinen zweiten Formel für den Spezialfall $m=1$. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt[n]{x} &= x^\frac{1}{n} \\[0.5em] \sqrt[n]{x^m} &= x^\frac{m}{n} \end{align*}

In Worten: Eine Wurzel kann zur Potenz umgeschrieben werden, indem ihr Radikand mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten potenziert wird – bzw. der Exponent des Radikanden mit dem Kehrwert des Wurzelexponenten multipliziert wird.

Hinweis: Die Gleichheit gilt in beide Richtungen; die Potenz kann also ebenfalls wieder in eine Wurzel überführt werden.

Aus der Definition von Potenzen mit negativen Exponenten ergibt sich zudem unmittelbar die folgende Formel:

\[ \frac{1}{\sqrt[n]{x^m}} = \frac{1}{x^{\frac{m}{n}}} = x^{-\frac{m}{n}}. \]

Die Rechenregel zum Umschreiben von Wurzeln zu Potenzen kann im folgenden Fall angewendet werden:

  • für nichtnegative reelle Radikanden $x \in \R$ und beliebige reelle Exponenten $m \in \R$ (mit $x \neq 0$ für $m \lt 0$) und beliebige natürliche Wurzelexponenten $n \in \N$;

Beispiele

Beispiel 1

Im ersten Beispiel wird exemplarisch die Quadratwurzel einer Variablen $a \geq 0$ als Potenz umgeschrieben.

\[ \sqrt{a} = a^\frac{1}{2} \]

Beispiel 2

Das zweite Beispiel demonstriert das Umschreiben der Potenz einer ganzen Zahl zu einer Kubikwurzel, die im Anschluss berechnet werden kann.

\begin{align*} 8^\frac{1}{3} &= \sqrt[3]{8} \\[0.5em] &= 2 \end{align*}

Beispiel 3

Das dritte Beispiel zeigt das Umschreiben der Potenz einer Variablen $a \gt 0$ mit negativem rationalen Exponenten zu einer Wurzel.

\begin{align*} a^{-\frac{5}{3}} &= \frac{1}{a^{\frac{5}{3}}} \\[0.5em] &= \frac{1}{\sqrt[3]{a^5}} \end{align*}

Beweis des Wurzelgesetzes

Das Wurzelgesetz für das Umschreiben von Wurzeln zu Potenzen kann direkt hergeleitet bzw. bewiesen werden. Gegeben seien zwei reelle Zahlen $x,m \in \R$ sowie eine natürliche Zahl $n \in \N$. Es sei vorausgesetzt, dass die Wurzel $\sqrt[n]{x^m}$ definiert und berechenbar ist.

Das Wurzelgesetz wird ausgehend von der Wurzel einer Potenz hergeleitet. Zunächst wird hierzu der Term $ {\bigl( \sqrt[n]{x^m} \bigr)}^n$ betrachtet und umgeformt. Es gilt:

\begin{align*} {\bigl( \sqrt[n]{x^m} \bigr)}^n &\overset{(1)}{=} x^m \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} x^{\frac{m}{n} \cdot n} \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} {\bigl( x^\frac{m}{n} \bigr)}^n \\[1.5em] \implies \sqrt[n]{{\bigl( \sqrt[n]{x^m} \bigr)}^n} &\overset{(4)}{=} \sqrt[n]{{\bigl( x^\frac{m}{n} \bigr)}^n} \\[0.5em] \implies \sqrt[n]{x^m} &\overset{(5)}{=} x^\frac{m}{n} \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)
  • Multiplikation des Exponenten mit Eins
  • Es gilt $m = m \cdot \frac{n}{n} = \frac{m}{n} \cdot n$
(3)
(4)
  • Ziehen der $n$-ten Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung
(5)
  • Ausrechnen von $\sqrt[n]{\unicode{x2B1A}^{n}}$ mithilfe der Definition der Wurzel