Sekans (Ableitungsregel)
Die Ableitungsregel der Sekans-Funktion (abgekürzt: sec) kann direkt aus der Definition der Sekans-Funktion hergeleitet werden, da diese lediglich aus elementaren Funktionen zusammengesetzt ist. Dieser Artikel bietet eine detaillierte Schritt für Schritt Herleitung der Ableitungsregel und demonstriert deren Anwendung an einigen Beispielen.
Grundlagen
Die Sekans-Funktion kann für alle reellen Zahlen $x \in \R$ als Kehrwert der Kosinus-Funktion dargestellt werden:
Ableitungsregel
Die Ableitung der Sekans-Funktion (abgekürzt: sec) ist für alle reellen Zahlen $x \in \R$ mit $x \neq k\pi + \frac{\pi}{2}$ (für $k \in \Z$) wie folgt definiert:
Herleitung der Ableitungsregel
Die Herleitung der Ableitungsregel der Sekans-Funktion erfolgt unmittelbar auf Grundlage der Eigenschaft, dass die Sekans-Funktion der Kehrwert der Kosinus-Funktion ist. Für die Herleitung der gesuchten Ableitungsregel werden folglich die Ableitungsregel der Kosinus-Funktion sowie die Reziprokenregel benötigt. Der erhaltene Term kann anschließend zusammengefasst und umgestellt werden. Es gilt:
Erklärungen zu den Schritten | |
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Beispiele
Beispiel 1
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Sekans-Funktion bestimmt werden soll:
Für die Ableitung der Funktion $f(x)$ ergibt sich:
Beispiel 2
Gegeben sei die folgende Funktion, deren Ableitung mithilfe der Ableitungsregel der Sekans-Funktion bestimmt werden soll:
Für die Ableitung der Funktion $g(x)$ ergibt sich: