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Schnitt von Mengen

Bei der Schnittmenge von zwei oder mehr Mengen handelt es sich um alle Elemente, die diese Mengen gemeinsam haben.

Inhalt

Definition
Beispiele
Eigenschaften

Definition

Gegeben seien zwei Mengen $A$ und $B$. Bei der Schnittmenge $A \cap B$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind:

A \cap B = \Bigl\{ x \mid x \in A \text{ und } x \in B \Bigr\}.

Darstellung der Schnittmenge von zwei Mengen — Darstellung der Schnittmenge $A \cap B$

Allgemein: Gegeben seien Mengen $A_1,\ldots,A_n$. Bei der Schnittmenge $A_1 \cap \ldots \cap A_n$ handelt es sich um die Menge aller Elemente, die in jeder der Mengen $A_i$ enthalten sind:

\bigcap\limits_{i=1}^{n}{A_i} = A_1 \cap \ldots \cap A_n = \Bigl\{ x \mid x \in A_1 \wedge \ldots \wedge x \in A_n \Bigr\}.

Beispiele

Beispiel 1

Gegeben seien die beiden Mengen $A = \bigl\{1,2,3\bigr\}$ und $B = \bigl\{2,3,4\bigr\}$. Die Schnittmenge $A \cap B$ enthält alle Elemente, die sowohl in $A$ als auch in $B$ enthalten sind:

A \cap B = \Bigl\{ 1,2,3 \Bigr\} \cap \Bigl\{ 2,3,4 \Bigr\} = \Bigl\{ 2,3 \Bigr\}.

Beispiel 2

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c,d\bigr\}$, $B = \bigl\{c,d,e\bigr\}$ und $C=\bigl\{d,e,f\bigr\}$. Die Schnittmenge $A \cap B \cap C$ enthält alle Elemente, die in jeder der Mengen $A$, $B$ und $C$ enthalten sind:

A \cap B \cap C = \Bigl\{ a,b,c,d \Bigr\} \cap \Bigl\{ c,d,e \Bigr\} \cap \Bigl\{ d,e,f \Bigr\} = \Bigl\{ d \Bigr\}.

Beispiel 3

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \bigl\{a,b\bigr\}$. Die Menge $B$ ist eine Teilmenge der Menge $A$. Die Schnittmenge $A \cap B$ entspricht in diesem Fall der Menge $B$ selbst:

A \cap B = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} \cap \Bigl\{ a,b \Bigr\} = \Bigl\{ a,b \Bigr\} = B.

Beispiel 4

Gegeben seien die Mengen $A = \bigl\{a,b,c\bigr\}$ und $B = \emptyset$. Da $B$ die leere Menge ist, entspricht die Schnittmenge $A \cap B$ der leeren Menge:

A \cap B = \Bigl\{ a,b,c \Bigr\} \cap \emptyset = \emptyset.

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Eigenschaften

Assoziativität

Der Schnitt $\cap$ von Mengen ist assoziativ. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

\bigl( A \cap B \bigr) \cap C = A \cap \bigl( B \cap C \bigr) = A \cap B \cap C.

Kommutativität

Der Schnitt $\cap$ von Mengen ist kommutativ. Für Mengen $A$ und $B$ gilt:

A \cap B = B \cap A.

Distributivität

Der Schnitt $\cap$ von Mengen ist distributiv über der Vereinigung $\cup$ sowie über der symmetrischen Differenz $\triangle$ von Mengen. Für Mengen $A$, $B$ und $C$ gilt:

\begin{align*} A \cap \bigl( B \cup C \bigr) &= \bigl( A \cap B \bigr) \cup \bigl( A \cap C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \cup B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \cup \bigl( B \cap C \bigr) \\[1.0em] A \cap \bigl( B \mathop{\triangle} C \bigr) &= \bigl( A \cap B \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( A \cap C \bigr) \\[0.5em] \bigl( A \mathop{\triangle} B \bigr) \cap C &= \bigl( A \cap C \bigr) \mathop{\triangle} \bigl( B \cap C \bigr). \end{align*}

Neutrales Element

Handelt es sich bei der Menge $A \subseteq M$ um eine Teilmenge einer Grundmenge $M$, so handelt es sich bei $M$ um das neutrale Element des Schnitts $\cap$ von Mengen:

M \cap A = A = A \cap M.

Absorbierendes Element

Bei der leeren Menge $\emptyset$ handelt es sich um ein absorbierendes Element des Schnitts $\cap$ von Mengen. Für eine Menge $A$ gilt:

\emptyset \cap A = \emptyset = A \cap \emptyset.