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Satz von Vieta

Beim Satz von Vieta (auch Wurzelsatz von Vieta) handelt es sich um einen mathematischen Lehrsatz aus dem Gebiet der elementaren Algebra. Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer algebraischen Gleichung her und ist nach dem französischen Mathematiker François Viète benannt.

Definition

Satz von Vieta für quadratische Gleichungen

Gegeben seien eine quadratische Gleichung

\[ x^2 + px + q = 0 \]

in Normalform sowie die beiden (nicht notwendigerweise verschiedenen) Lösungen $x_1$ und $x_2$ dieser Gleichung.

Der Satz von Vieta stellt einen Zusammenhang zwischen den Koeffizienten $p,q$ und den beiden Lösungen $x_1,x_2$ der quadratischen Gleichung her:

Die Summe der beiden Lösungen ergibt den negierten Koeffizienten $-p$ des linearen Glieds: $\[ x_1+x_2=-p. \]$
Das Produkt der beiden Lösungen ergibt den Koeffizienten $q$, also das konstante Glied: $x_1 \cdot x_2=q.$

Verallgemeinerung für beliebige Polynomgleichungen

Der Satz von Vieta kann auf beliebige Polynome bzw. Polynomgleichungen erweitert werden. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt, dass sich jedes Polynom vom Grad $n$, das komplexe Koeffizienten besitzt, als Produkt von genau $n$ (komplexen) Linearfaktoren darstellen lässt:

\begin{align*} p(x) &= \sum\limits_{k=0}^{n}{a_kx^k} \\[0.5em] &= a_nx_n + \ldots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \\[0.5em] &= a_n \cdot \bigl( x-x_1\bigr) \cdot \ldots \cdot \bigl( x-x_n \bigr) \\[0.5em] &= a_n \cdot \prod\limits_{i=1}^{n}{\bigl( x-x_i \bigr)}. \end{align*}

Mit $x_1,\ldots,x_n$ sind hierbei die Nullstellen des Polynoms $p(x)$ bezeichnet. (Hinweis: Diese müssen nicht alle verschieden sein und können auch bei reellen Polynomen komplexe Werte sein.)

Durch Ausmultiplizieren der Linearfaktorzerlegung des Polynoms und anschließenden Koeffizientenvergleich ergibt sich die verallgemeinerte Version des Satzes von Vieta:

\begin{align*} -\dfrac{a_{n-1}}{a_n} &= x_1 + \ldots + x_n \\[0.5em] \dfrac{a_{n-2}}{a_n} &= x_1x_2 + x_1x_3 + \ldots + x_2x_3 + \ldots + x_{n-1}x_n \\[0.5em] -\dfrac{a_{n-3}}{a_n} &= x_1x_2x_3 + x_1x_2x_4 + \ldots + x_1x_3x_4 + \ldots + x_2x_3x_4 + \ldots + x_{n-2}x_{n-1}x_n \\[0.5em] &\ \ \vdots \\[0.5em] {\bigl( -1 \bigr)}^n \cdot \dfrac{a_0}{a_n} &= x_1 \cdot \ldots \cdot x_n. \end{align*}

Oder allgemein (für $1 \leq k \leq n$):

{\bigl( -1 \bigr)}^k \cdot \dfrac{a_{n-k}}{a_n} = \sum\limits_{1 \leq i_1 \lt \ldots \lt i_k \leq n}{\left( \prod\limits_{\ell=1}^{k}{x_{i_\ell}} \right)}.

Hinweis: Um sicherzustellen, dass jedes Produkt von genau $k$ Lösungen exakt einmal vorkommt, sind die $k$ Indizes $i_1,\ldots,i_k$ stets aufsteigend sortiert.

Der Wert $\frac{a_{n-k}}{a_n}$ (dies entspricht dem Koeffizienten des zu $p(x)$ gehörenden normierten Polynoms) ergibt sich somit aus der Summe aller möglichen Produkte von jeweils $k$ Lösungen der Polynomgleichung. Abhängig von $k$ muss diese Summe zudem negiert oder nicht negiert werden.

Beweis

Beweis durch Koeffizientenvergleich

Mithilfe der Lösungen $x_1$ und $x_2$ der normierten quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ lässt sich diese als Produkt von Linearfaktoren darstellen:

\begin{align*} x^2 + px + q &= \bigl( x-x_1 \bigr)\bigl( x-x_2 \bigr) \\[0.5em] &= x^2 - x_2x - x_1x + x_1x_2 \\[0.5em] &= x^2 - \bigl( x_1+x_2 \bigr) x + x_1x_2. \end{align*}

Mittels Koeffizientenvergleich folgt hieraus unmittelbar

\begin{align*} p &= -\bigl( x_1+x_2 \bigr) \\[0.5em] q &= x_1 \cdot x_2, \end{align*}

und somit der Satz von Vieta für quadratische Gleichungen.

Beweis mithilfe der pq-Formel

Der Satz von Vieta kann alternativ auch mithilfe der pq-Formel bewiesen werden. Zunächst werden die beiden Lösungen der normierten quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ bestimmt. Es gilt:

\begin{align*} x_1 &= -\dfrac{p}{2} - \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] x_2 &= -\dfrac{p}{2} + \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q}. \end{align*}

Addition der Lösungen $x_1$ und $x_2$ ergibt:

\begin{align*} x_1 + x_2 &= -\dfrac{p}{2} - \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} -\dfrac{p}{2} + \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \\[0.5em] &= -p. \end{align*}

Multiplikation der Lösungen $x_1$ und $x_2$ mithilfe der dritten binomischen Formel ergibt:

\begin{align*} x_1 \cdot x_2 &= \left( -\dfrac{p}{2} - \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \right) \cdot \left( -\dfrac{p}{2} + \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \right) \\[0.5em] &= {\left( -\dfrac{p}{2} \right)}^2 - {\left( \sqrt{{\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q} \right)}^2 \\[0.5em] &= {\left( -\dfrac{p}{2} \right)}^2 - \left( {\left( \dfrac{p}{2} \right)}^2 - q \right) \\[0.5em] &= \dfrac{p^2}{4} - \dfrac{p^2}{4} + q \\[0.5em] &= q. \end{align*}

Bei den gefundenen Ergebnissen $x_1+x_2=-p$ und $x_1 \cdot x_2=q$ handelt es sich um die Aussage des Satzes von Vieta.

Beweis der Umkehrung

Sind $x_1,x_2,p,q$ mit $x_1+x_2=-p$ und $x_1 \cdot x_2 = q$ gegeben, so handelt es sich bei $x_1$ und $x_2$ um die Lösungen der normierten quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$. Es gilt:

\begin{align*} x_2 + px + q &\overset{(1)}{=} x^2 - \bigl( x_1+x_2 \bigr) x + x_1x_2 \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} x^2 - x_1x - x_2x + x_1x_2 \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} \bigl( x-x_1 \bigr) \bigl( x-x_2 \bigr) \end{align*}

Erklärungen zu den Schritten
(1)	Ersetzen von $p$ und $q$
(2)	Ausmultiplizieren mit dem Distributivgesetz
(3)	Ausklammern mit dem (allgemeinen) Distributivgesetz

Einsetzen von $x=x_1$ bzw. $x=x_2$ zeigt, dass es sich bei $x_1$ und $x_2$ tatsächlich um die Nullstellen der quadratischen Gleichung handelt.

Anwendungen

Konstruktion von quadratischen Gleichungen aus den Lösungen

Der Satz von Vieta kann verwendet werden, um quadratische Gleichungen mit gegebenen Lösungen $x_1$ und $x_2$ zu konstruieren, indem die Koeffizienten der Gleichung $x^2+px+q=0$ wie folgt bestimmt werden:

\begin{align*} p &= -\bigl( x_1+x_2 \bigr) \\[0.5em] q &= x_1 \cdot x_2. \end{align*}

Beispiel

Für $x_1=2$ und $x_2=3$ ergibt sich exemplarisch

\begin{align*} p &= -(2+3) = -5 \\[0.5em] q &= 2 \cdot 3 = 6 \end{align*}

und somit die quadratische Gleichung

\[ x^2 - 5x + 6 = 0. \]

Lösen von speziellen Gleichungssystemen

Mit dem Satz von Vieta können Gleichungssysteme der Form

\begin{align*} x_1+x_2 &= -p \\[0.5em] x_1 \cdot x_2 &= q \end{align*}

gelöst werden, indem die zugehörige quadratische Gleichung $x^2 + px + q = 0$ gelöst wird.

Beispiel

Bei den Lösungen des Gleichungssystems

\begin{align*} x+y &= 1 \\[0.5em] x \cdot y &= -6 \end{align*}

handelt es sich um die Lösungen der quadratischen Gleichung $x^2-x-6=0$. Diese kann beispielsweise mithilfe der pq-Formel gelöst werden; es ergibt sich:

\begin{align*} x_{1/2} &= -\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{{\left( \dfrac{-1}{2} \right)}^2 - \bigl( -6 \bigr)} \\[0.5em] &= \dfrac{1}{2} \pm \dfrac{5}{2}. \end{align*}

Für die gesuchten Werte $x$ und $y$ ergibt sich somit $x=-2$ und $y=3$ bzw. $x=3$ und $y=-2$.

Finden der Lösungen von quadratischen Gleichungen

Der Satz von Vieta kann dabei helfen, die Lösungen einer quadratischen Gleichung durch Probieren zu finden – insbesondere, wenn vermutet wird, dass die Lösungen ganzzahlig sind. Die Lösungen sind stets Teiler des konstanten Glieds, deren Produkt wieder das konstante Glied selbst ergibt.

Beispiel

Für die quadratische Gleichung

\[ x^2-7x+10=0 \]

gilt nach dem Satz von Vieta

\begin{align*} x_1 + x_2 &= 7 \\[0.5em] x_1 \cdot x_2 &= 10. \end{align*}

Mögliche infrage kommende ganzzahlige Teilerpaare des konstanten Glieds $10$ sind $(1,10)$, $(2,5)$, $(-1,-10)$ und $(-2,-5)$. Für $2$ und $5$ gilt zudem $2+5=7$, weshalb es sich bei $2$ und $5$ um die gesuchten Lösungen der quadratischen Gleichung handelt.