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Binomische Formeln

Bei den binomischen Formeln handelt es sich um Formeln der elementaren Algebra, die zum Umformen von Produkten aus Binomen dienen. Sie können beispielsweise verwendet werden, um geklammerte Ausdrücke zu multiplizieren oder um Summen und Differenzen zu faktorisieren.

Inhalt

Formeln

Erste binomische Formel

Die erste binomische Formel beschreibt, wie das Produkt der Summe \(a+b\) mit sich selbst effizient berechnet werden kann. Es gilt:

\[ {\bigl( a+b \bigr)}^2 = a^2 + 2ab + b^2. \]

Die erste binomische Formel kann durch Ausmultiplizieren direkt hergeleitet werden. Es gilt:

\begin{align*} {\bigl( a+b \bigr)}^2 &\overset{(1)}{=} \bigl( a+b \bigr) \cdot \bigl( a+b \bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^2 + ab + ba + b^2 \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^2 + 2ab + b^2. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz als Produkt
(2)
(3)

Zweite binomische Formel

Die zweite binomische Formel beschreibt, wie das Produkt der Differenz \(a-b\) mit sich selbst effizient berechnet werden kann. Es gilt:

\[ {\bigl( a-b \bigr)}^2 = a^2 - 2ab + b^2. \]

Die zweite binomische Formel kann durch Ausmultiplizieren direkt hergeleitet werden. Es gilt:

\begin{align*} {\bigl( a-b \bigr)}^2 &\overset{(1)}{=} \bigl( a-b \bigr) \cdot \bigl( a-b \bigr) \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^2 - ab - ba + b^2 \\[0.5em] &\overset{(3)}{=} a^2 - 2ab + b^2. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
  • Umschreiben der Potenz als Produkt
(2)
(3)

Dritte binomische Formel

Die dritte binomische Formel beschreibt, wie das Produkt der Summe \(a+b\) und der Differenz \(a-b\) effizient berechnet werden kann. Es gilt:

\[ \bigl( a+b \bigr) \cdot \bigl( a-b \bigr) = a^2 - b^2. \]

Die dritte binomische Formel kann durch Ausmultiplizieren direkt hergeleitet werden. Es gilt:

\begin{align*} \bigl( a+b \bigr) \cdot \bigl( a-b \bigr) &\overset{(1)}{=} a^2 - ab + ba - b^2 \\[0.5em] &\overset{(2)}{=} a^2 - b^2. \end{align*}
Erklärungen zu den Schritten
(1)
(2)

Beispiele

Beispiel 1

Mithilfe der ersten binomischen Formel soll der Wert \(42^2\) berechnet werden. Es gilt:

\begin{align*} 42^2 &= {\bigl( 40+2 \bigr)}^2 \\[0.5em] &= 40^2 + 2 \cdot 40 \cdot 2 + 2^2 \\[0.5em] &= 1600 + 160 + 4 \\[0.5em] &= 1764. \end{align*}

Beispiel 2

Mithilfe der zweiten binomischen Formel soll der Term \(2n^3 - 8n^2 + 8n\) faktorisiert werden. Es gilt:

\begin{align*} 2n^3 - 8n^2 + 8n &= 2n \cdot \bigl( n^2 - 4n + 4 \bigr) \\[0.5em] &= 2n \cdot {\bigl( n-2 \bigr)}^2. \end{align*}

Beispiel 3

Mithilfe der dritten binomischen Formel soll der Term \(n^4 - 25\) faktorisiert werden. Es gilt:

\begin{align*} n^4 - 25 &= {\bigl( n^2 \bigr)}^2 - 5^2 \\[0.5em] &= \bigl( n^2+5 \bigr) \cdot \bigl( n^2-5 \bigr). \end{align*}

Weitere Anwendungen

Addition und Subtraktion von Wurzeln

Die erste und zweite binomische Formel kann verwendet werden, um Wurzeln zu addieren und zu subtrahieren. Es gilt:

\begin{align*} \sqrt{a} + \sqrt{b} &= \sqrt{{\bigl( \sqrt{a} + \sqrt{b} \bigr)}^2} \\[0.5em] &= \sqrt{a + b + 2 \sqrt{ab}} \\[1em] \sqrt{a} - \sqrt{b} &= \begin{cases} \sqrt{a + b - 2 \sqrt{ab}} & \text{, falls } a \geq b \\[0.5em] -\sqrt{a + b - 2 \sqrt{ab}} & \text{, falls } a \lt b \end{cases} \end{align*}

Die hierbei entstehenden verschachtelten Wurzeln sind jedoch nicht in jedem Fall einfacher als die ursprünglichen Ausdrücke.

Division von komplexen Zahlen

Hauptartikel: Division von komplexen Zahlen

Die dritte binomische Formel wird bei der Division von komplexen Zahlen in algebraischer Form verwendet. Hierfür wird unter anderem mit der Konjugierten der komplexen Zahl im Nenner erweitert, wodurch dieser reellwertig wird; es gilt:

\begin{align*} \frac{z_1}{z_2} &= \frac{a_1 + ib_1}{a_2 + ib_2} \\[0.5em] &= \frac{\bigl(a_1 + ib_1\bigr) \cdot \bigl(a_2 - ib_2\bigr)}{\bigl(a_2 + ib_2\bigr) \cdot \bigl(a_2 - ib_2\bigr)} \\[0.5em] &= \frac{\bigl(a_1a_2 + b_1b_2\bigr) + i \cdot \bigl(a_2b_1 - a_1b_2\bigr)}{a_2^2 + b_2^2} \\[0.5em] &= \frac{a_1a_2 + b_1b_2}{a_2^2 + b_2^2} + i \cdot \frac{a_2b_1 - a_1b_2}{a_2^2 + b_2^2}. \end{align*}

Potenzieren von komplexen Zahlen

Hauptartikel: Potenzieren von komplexen Zahlen

Die binomischen Formeln (und der verallgemeinerte binomische Lehrsatz) können verwendet werden, um natürliche Potenzen von komplexen Zahlen in algebraischer Form zu berechnen. Exemplarisch gilt:

\begin{align*} {\bigl( a+ib \bigr)}^2 &= a^2-b^2 + i \cdot 2ab \\[0.5em] {\bigl( a+ib \bigr)}^3 &= a^3 - 3ab^2 + i \cdot \bigl( 3a^2b - b^3 \bigr) \end{align*}

Verallgemeinerung

Binomischer Lehrsatz

Hauptartikel: Binomischer Lehrsatz

Die erste bzw. zweite binomische Formel kann mithilfe des binomischen Lehrsatzes auf beliebige natürliche Potenzen \(n \in \N\) erweitert werden. Es gilt:

\[ {\bigl( a+b \bigr)}^n = \sum\limits_{k=0}^{n}{\binom{n}{k}a^kb^{n-k}}. \]

Bei den Termen \(\binom{n}{k}\) handelt es sich um die Binomialkoeffizienten.

Multinomialsatz

Hauptartikel: Multinomialsatz

Die erste bzw. zweite binomische Formel kann mithilfe des Multinomialsatzes auf Summen mit mehr als zwei Summanden und beliebige natürliche Potenzen \(n \in \N\) erweitert werden. Es gilt:

\[ {\bigl( a_1+\ldots+a_r \bigr)}^n = \sum\limits_{\begin{array}{c} k_1,\ldots,k_r \in \N \\ k_1+\ldots+k_r=n \end{array}}{\binom{n}{k_1,\ldots,k_r} \cdot a_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot a_r^{k_r}}. \]

Bei den Termen \(\binom{n}{k_1,\ldots,k_r}\) handelt es sich um die Multinomialkoeffizienten.