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Antikommutativität

Bei der Antikommutativität handelt es sich um eine Eigenschaft einer Verknüpfung, die besagt, dass beim Vertauschen von zwei Argumenten das Ergebnis invertiert wird.

Inhalt

Definition

Gegeben seien zwei (nicht notwendigerweise verschiedene) abelsche Gruppen $A$ und $B$ sowie eine zweistellige Verknüpfung $\star: A \times A \rightarrow B$, die jedem Paar über der Menge $A$ ein Element der Menge $B$ zuordnet. Die Verknüpfung $\star$ heißt antikommutativ, wenn das Vertauschen der Argumente stets zu einer Invertierung des Ergebnisses führt, d. h., wenn für alle $a,b \in A$ gilt:

\[ a \star b = -\bigl( b \star a \bigr). \]

Die Schreibweise $-\bigl( b \star a \bigr)$ bezieht sich hierbei auf die Invertierung bezüglich der Verknüpfung der Gruppe B.

Allgemein: Eine $n$-stellige Verknüpfung $\star: A^n \rightarrow B$ heißt antikommutativ, wenn das Vertauschen von Argumenten $a_i$ und $a_j$ für alle $a_i, a_j \in A$ (mit $i \neq j$) zu einer Invertierung des Ergebnisses führt. Es können auch mehrere Vertauschungen stattfinden – in diesem Fall führt jede Vertauschung zu einer Invertierung des Ergebnisses. Die Vertauschungen können allgemein mithilfe einer Permutation $\sigma$ dargestellt werden. Es gilt:

\[ a_1 \star a_2 \star \ldots \star a_n = \sgn(\sigma) \bigl( a_{\sigma(1)} \star a_{\sigma(2)} \star \ldots \star a_{\sigma(n)} \bigr). \]

Mit $\sgn(\sigma)$ ist hierbei das Vorzeichen der Permutation $\sigma$ bezeichnet.

Beispiele

Einige Beispiele für antikommutative Operationen: