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Kettenregel

Die Kettenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung, die beschreibt, wie die Berechnung der Ableitung von nacheinander ausgeführten Funktionen auf die Berechnung der Ableitungen der einzelnen Funktionen zurückgeführt werden kann.

Inhalt

Definition
Beispiele
Beweis der Kettenregel

Definition

Gegeben seien zwei Intervalle $U,V$ der reellen oder komplexen Zahlen.

Ist die Funktion $v$ an der Stelle $x_0 \in V$ differenzierbar und ist die Funktion $u$ an der Stelle $v(x_0) \in U$ differenzierbar, so ist auch die Funktion $f(x) = u(v(x))$ an der Stelle $x_0$ differenzierbar und es gilt

f'(x_0) = u'\bigl(v(x_0)\bigr) \cdot v'(x_0)

Beispiele

Beweis der Kettenregel

Die Kettenregel kann mithilfe des Grenzwerts des Differenzenquotienten hergeleitet werden. Es gilt

\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(v(x_0+h)) - u(v(x_0))}{h} \right)} \end{align*}

Angenommen, es gelte $v(x_0+h) \neq v(x_0)$ für $h \rightarrow 0$. In diesem Fall gilt $v(x_0+h)-v(x_0) \neq 0$ und der Grenzwert für $f'(x_0)$ kann zu

f'(x_0) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(v(x_0+h)) - u(v(x_0))}{v(x_0+h)-v(x_0)} \cdot \frac{v(x_0+h)-v(x_0)}{h} \right)}

umgeformt werden, woraus die Quotientenregel folgt. Oszilliert hingegen die Funktion $v$ in der Nähe von $x_0$, so kann es vorkommen, dass für jedes $h \rightarrow 0$ ein $h' \lt h$ existiert mit $v(x_0+h')=v(x_0)$ – dies gilt beispielsweise für die Funktion $x^2 \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right)$ in der Nähe von $x_0=0$. In diesem Fall ist die obige Aussage ungültig, da sie eine Division durch Null beinhaltet.

Um dieses Problem zu umgehen definiert man eine Funktion $D$ wie folgt:

D(z,z_0) = \begin{cases} \frac{u(z) - u(z_0)}{z - z_0} & \text{, für } z \neq z_0 \\[0.75em] u'(z_0) & \text{, für } z = z_0 \end{cases}

Es gilt

u(z) - u(z_0) = D(z,z_0) \cdot (z-z_0).

Für $z \neq z_0$ folgt dies durch direktes Umstellen der Funktion $D(z,z_0)$, für $z=z_0$ steht auf beiden Seiten der Gleichung der Wert $0$.

Des Weiteren ist die Funktion $D(z,z_0)$ an der Stelle $z_0$ stetig und differenzierbar; es gilt

\lim\limits_{z \rightarrow z_0}{D(z,z_0)} = u'(z_0).

Einsetzen in den Grenzwert für $f'(x_0)$ und Umformen ergibt die Kettenregel:

\begin{align*} f'(x_0) &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{u(v(x_0+h)) - u(v(x_0))}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{D(v(x_0+h), v(x_0)) \cdot \bigl( v(x_0+h) - v(x_0) \bigr)}{h} \right)} \\[0.75em] &= \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\Bigl( D(v(x_0+h),v(x_0)) \Bigr)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\left( \frac{v(x_0+h)-v(x_0)}{h} \right)} \\[0.75em] &= u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0) \end{align*}